试卷 中考必会几何模型：中点四大模型

这是一份试卷 中考必会几何模型：中点四大模型，共15页。

模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
模型分析
如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．
模型实例
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．
1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围．
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝20，
根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，
∴4＜AD＜16，
故AD的取值范围为4＜AD＜16．
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．
求证：AD2＝(AB2＋AC2)．
证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．
∵BD＝DC，
∴ED＝DN．
在△BED与△CND中，
∵
∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE＝NC．
∵∠MDN＝90°，
∴MD为EN的中垂线．
∴EM＝MN．
∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，
∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°．
∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．
∴∠BAC＝90°．
∴AD2＝(BC)2＝（AB2＋AC2）．
模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．
模型实例
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度．

解答：
连接AM．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，
∴AM⊥BC，BM＝CM＝BC＝3．
∵AB＝5，
∴AM＝．
∵MN⊥AC，
∴S△ANC＝MC·AM＝AC·MN．
即：×3×4＝×5×MN．
∴MN＝
跟踪练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．
证明：连结AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）
∴∠ADE＝∠ADF，
∵∠ADB＋∠ADC＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC．
2．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DF⊥AC于E时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
解：（1）连接CD；如图2所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝S△ABC；
（2）不成立；S△DEF−S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE＋S△DBC，
＝S△CFE＋S△ABC，
∴S△DEF－S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S△CEF＝S△ABC．

模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：
DE∥BC，且DE＝BC来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
解答
如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴FH＝AB，FH∥AB，HE＝DC，HE∥NC．
又∵AB＝CD，
∴HE＝HF．
∴∠HFE＝∠HEF．
∵FH∥MB，HE∥NC，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠FEH．
∴∠BME＝∠CNE．
练习：
1.（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）；
（2）如图2，BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？
（3）如图3，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.
1.解答
（1）如图①，分别延长AE，AD交BC于H，K.
在△BAD和△BKD中，
∴△BAD≌ △BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB.
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE=HK.
又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.
∴DE=（AB+AC+BC）.
（2）猜想结果：图②结论为DE=（AB+AC-BC）
证明：分别延长AE，AD交BC于H，K.
在△BAD和△BKD中
∴△BAD≌△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE=HK.
又∵HK=BK+CH-BC
=AB+AC-BC
∴DE=（AB+AC-BC）
（3）图③的结论为DE=（BC+AC-AB）
证明：分别延长AE，AD交BC或延长线于H，K.
在△BAD和△BKD中，
∴△BAD ≌△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB.
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE=KH.
又∵HK=BH-BK
=BC+CH-BK
=BC+AC-AB
∴DE=（BC+AC-AB）.
2.问题一：如图①，在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.
问题二：如图②，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.
2.证明
（1）等腰三角形（提示：取AC中点H，连接FH，EH，如图①）
（2）△AGD是直角三角形
如图②，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE.
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=AB.
∴∠1=∠3.
同理，HE∥CD，HE=CD，
∴∠2=∠EFC，
∴AB=CD，
∴HF=HE.
∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.
∴△AGF是等边三角形.
∴AF=FG.
∴GF=FD.
∴∠FGD=∠FDG=30°.
∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形.
模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
模型实例
如图，在△ABC中，BE，CF分别为AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥ EF于点M，求证：FM=EM.
证明
连接DE，DF.
BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，
DF=BC，DE=BC.
DF=DE，即△DEF是等腰三角形.
DM⊥EF，
点M是EF的中点，即FM=EM.
练习：
1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，求DM的长度.
1.解答
取AB中点N，连接DN，MN.
在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，
∴DN=AB=BN=5.
∴∠NDB=∠B.
在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，
∴MN∥AC
∴∠NMB=∠C，
又∵∠NDB是△NDM的外角，
∴∠NDB=∠NMD+∠DNM.
即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM.
又∵∠B=2∠C，
∴∠DNM=∠C=∠NMD.
∴DM=DN.
∴DM=5.
2.已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，M为DE的中点，连接MB，MC，求证：MB=MC.
2.证明
延长BM交CE于G，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴CE∥BD.
∴∠BDM=∠GEM.
又∵M是DE中点，即DM=EM，
且∠BMD=∠GME，
∴△BMD ≌△GME.
∴BM=MG.
∴M是BG的中点，
∴在Rt△CBG中，BM=CM.
3.问题1：如图①，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥ BC，BF ⊥AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为 .
问题2：如图②，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME ⊥BC，MF⊥ AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.
问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB ≠CA”，其他 条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.
3.解答
∵（1）AE⊥BC，BF⊥AC，
∴△AEB和△AFB都是直角三角形，
∵D是AB的中点，
∴DE=AB，DF=AB.
∴DE=DF.
∵DE=KDF，
∴k=1.
（2）∵CB=CA，
∴∠CBA=∠CAB.
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.
∴AM=BM.
∵ME⊥BC，MF⊥AC，
∴∠MEB=∠MFA=90°.
又∵∠MBE=∠MAF，
∴△MEB ≌△MFA（AAS）
∴BE=AF.
∵D是AB的中点，即BD=AD，
又∵∠DBE=∠DAF，
∴△DBE ≌△DAF（SAS）
∴DE=DF.
（3）DE=DF.
如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH.
∵点D是边AB的中点，
∴DG∥BM，DG=BM.
同理可得：DH∥AM，DH=AM.
∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.
∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH.
∴∠HBE=∠HEB.
∴∠MHE=2∠HBE.
又∵DG=BM，HE=BM，
∴DG=HE.
同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形DHMG是平行四边形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC， ∠MHE=2∠MBC， ∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE.
在△DHE与△FGD中
∴△DHE≌ △FGD（SAS）
∴DE=DF.