高考数学真题专项练习 专题24 空间向量与空间角的计算（解析版）

这是一份高考数学真题专项练习 专题24 空间向量与空间角的计算（解析版），共102页。
专题24空间向量与空间角的计算
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理18
二面角的计算
线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2012
理19
二面角的计算
线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2013[来源:Z,xx,k.Com][来源:学_科_网][来源:学科网ZXXK]
卷2[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学科网ZXXK]
理18[来源:Z,xx,k.Com]
二面角的计算[来源:学.科.网Z.X.X.K]
线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
卷1
理18
空间线面角的计算
空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想象能力、逻辑推论证能力
2014
卷2
理18
二面角的计算
线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力
卷2
理11
空间异面直线所成角的计算
异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力
卷1
理19
二面角的计算
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力
2015
卷1
理18
空间异面直线所成角的计算
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异面直线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力．
2016
卷3
理19
空间线面角的计算
线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力和运算求解能力
卷2
理19
解答题中的折叠问题与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力和运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷1
理11
文11
空间异面直线所成角的计算
面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力
2017
卷3
理16
空间异面直线所成角的计算
空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷3
理19
二面角的计算
主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理18
二面角的计算
空间线面角的计算
主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理10
空间异面直线所成角的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
2018
卷3
文19
解答题中的折叠问题与探索性问题
空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，逻辑推理能力与空间想象能力
卷2
文9
空间异面直线所成角的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
文10
空间线面角的计算
长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力
卷3
理19
二面角的计算
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理20
空间线面角的计算
二面角的计算
主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理9
空间异面直线所成角的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
理18
解答题中的折叠问题与探索性问题
空间线面角的计算
折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面角及逻辑推理能力与运算求解能力
2019
卷3
理19
解答题中的折叠问题与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理17
二面角的计算
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力
2020
卷1
理16
空间角的计算
空间角的计算，利用余弦定理解三角形
理18
二面角的计算
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷2
理20
空间位置关系判定、空间角的计算
间线面平行与垂直的证明，线面角的计算
卷3
理19
二面角、点与平面位置关系
点在平面的证明，利用空间向量法求二面角

大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
考点82空间异面直线所成角的计算
7/28
2021高考仍将重点考查异面直线角、线面角、二面角，解答题第一小题重点考查线线、线面、面面垂直的判定与性质，理科第二小题重点考查利用向量计算线面角或二面角，难度为中档题，小题可能考查异面直线角，难度为中档．
考点83空间线面角的计算
7/28
考点84二面角的计算
14/28
考点85 解答题中的折叠问题与探索性问题
4/28
十年试题分类*探求规律
考点82 空间异面直线所成角的计算
1．（2018•新课标Ⅱ，理9）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，，，，0，，，0，，，0，，，1，，∴，0，，，1，，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选．

2．（2018•新课标Ⅱ，文9）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接BE，因为AB//CD，所以∠EAB是异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则AB=BC=2CE=2，在Rt△BCE中，，在中，，∴异面直线与所成角的正切值为，故选．

3. （2017•新课标Ⅱ，理10）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设、、分别为，和的中点，则、夹角为和夹角或其补角（因异面直线所成角为，可知，
，作中点，则为直角三角形，，，在中，由余弦定理得，，
，，在中，，在中，由余弦定理得，又异面直线所成角的范围是，，与所成角的余弦值为．
4．（2016•新课标Ⅰ，理11文11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：平面，平面，平面，可知：，，△是正三角形．、所成角就是，则、所成角的正弦值为，故选．

5．（2014新课标Ⅱ，理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，连结、，∵，分别是，的中点，∴四边形为平行四边形，∴，∴所求角的余弦值等于的余弦值，不妨令，则，，
∴，故选C．
6．（2020全国Ⅰ理16）如图，在三棱锥的平面展开图中，，则_____________．

【答案】
【思路导引】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值．
【解析】，，，由勾股定理得，
同理得，，在中，，，，
由余弦定理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，故答案为：．
7．（2017•新课标Ⅲ，理16），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最小值为；
其中正确的是　　．（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【解析】由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，直线的方向单位向量，1，，，直线的方向单位向量，0，，，设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，其中为与的夹角，，，在运动过程中的向量，，，，，设与所成夹角为，，则，，
，，③正确，④错误．设与所成夹角为，，
，当与夹角为时，即，
，，，，，，此时与的夹角为，②正确，①错误．

8．（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．

【答案】
【解析】如图连接，取的中点，连接，则．

则异面直线，所成的角为，由题意可知，，
∴．又，，，∴，
则．
9．（2015四川）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．

【答案】
【解析】为轴，为轴，为轴建立坐标系，设正方形边长为．
令，，
，，即．
10．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．
（Ⅰ）证明：平面平面
（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．

【解析】（Ⅰ）连接，设，连接、、，在菱形中，不妨设，
由，
可得，
平面，，
可知，又，
所以，且，
在直角中，可得，故，
在直角三角形中，可得，
在直角梯形中，由，，，可得，
从而，则，
（或由，
可得，则
，可得平面，
由平面，所以平面平面；
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，为单位长度，
建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，，0，，
，0，，，，，
即有，，，，，，
故，．
则有直线与直线所成角的余弦值为．

考点83 空间线面角的计算
1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为 （ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【思路导引】画出截面图，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角．
【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线．是晷面的截线，依题意可知、．
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为，故选：B．

2．（2018•新课标Ⅰ，文10）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为　　
A．8 B． C． D．
【答案】C
【解析】长方体中，，与平面所成的角为，
即，可得，可得，所以该长方体的体积为：，故选．

3．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作，垂足为，设，则，由余弦定理，，
故当时，取得最大值，最大值为，故选D．
4．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，由于，， ，所以的取值范围是．
5．（2020全国Ⅱ理20）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：//，且平面平面；
（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【思路导引】
（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；
（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案．
【解析】
（1）分别为，的中点，

又

在中，为中点，则
又侧面为矩形，



由，平面
平面
又，且平面，平面，
平面
又平面，且平面平面


又平面
平面
平面
平面平面
（2）连接

平面，平面平面，，
根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，，
故：四边形是平行四边形．
设边长是()，可得：，，
为的中心，且边长为，，故：．
，，，解得：，
在截取，故，且，四边形是平行四边形，
．
由（1）平面，故为与平面所成角
在，根据勾股定理可得：，
，直线与平面所成角的正弦值：．
6．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

【解析】（1）证明：连接，
，是的中点，
，且，
又，
，，
则，
则，
，
平面；
（2）建立以坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
，，，，0，，，2，，，0，，
，2，，
设，，，
则，，，，，，，
则平面的法向量为，0，，
设平面的法向量为，，，
则，，，
则，
令，则，，
即，，，
二面角为，
，
即，
解得或（舍，
则平面的法向量，，，
，2，，
与平面所成角的正弦值，．

7．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，
为的中点，
，且，
又，，且，
，且，
则，且，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面；
法二、
在中，过作，垂足为，连接，
在中，由已知，，得，
，
，则，
在中，
，，
由余弦定理得：，
，
而在中，，
，即，
，则平面．
由底面，得，又，
，则平面．
，
平面平面，则平面；
（2）解：在中，由，，，得．
，则，
底面，平面，
平面平面，且平面平面，
平面，则平面平面．
在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．
在中，由是的中点，得，
在中，由，得，
．
直线与平面所成角的正弦值为．

8．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．

（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面，
∴AB⊥； ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，
有题设知A(1，0，0)，(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)，则=（1，0，），==(－1，0，)，=(0，－，)， ……9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
∴=，
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为． ……12分


9．（2018浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
【解析】(1)由，，，，得
，
所以．
故．
由，，，，得，
由，得，
由，得，所以，故．
因此平面．
(2)如图，过点作，交直线于点，连结．

由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角．
由，，
得，，
所以，故．
因此，直线与平面所成的角的正弦值是．
方法二 (1)如图，以的中点为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

由题意知各点坐标如下：
，，，，，
因此，，，
由得．
由得．
所以平面．
(2)设直线与平面所成的角为．
由(1)可知，，，
设平面的法向量．
由，即，可取．
所以．
因此，直线与平面所成的角的正弦值是．
10．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连结EF，FB．

因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且，
又因为BC∥AD，，所以
EF∥BC且EF=BC，
即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，
因此CE∥平面PAB．
（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连结PN交EF于点Q，连结MQ．
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，
在平行四边形BCEF中，MQ∥CE．
由为等腰直角三角形得
PN⊥AD．
由DC⊥AD，N是AD的中点得
BN⊥AD．
所以AD⊥平面PBN，
由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
那么，平面PBC⊥平面PBN．
过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．
MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．
设CD=1．
在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，
在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得，
在中，，MQ=，
所以，
所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．
11．（2014天津）如图四棱锥的底面是平行四边形，，
，，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）证明： 平面；
（Ⅱ）若二面角为60°，
（ⅰ）证明：平面⊥平面
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB中点M，连接MF，AM．因为F为PC中点，
故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E为AD中点，
因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，
所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，
所以EF//平面PAB．
（Ⅱ）（i）证明：连接PE，BE．因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，
故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，
由，可解得PE=2．
在三角形ABD中，由，可解得BE=1．
在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，
由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB，
又BC//AD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，
所以平面PBC平面ABCD．
（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，
由PB=，PA=，AB=得ABP为直角，而MB=PB=，可得AM=，
故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，
所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为
12．（2013浙江）如图，在四棱锥中，⊥面，，
，，，为线段上的点．

（Ⅰ）证明：⊥面 ；
（Ⅱ）若是的中点，求与所成的角的正切值；
（Ⅲ）若满足⊥面，求的值．
【解析】（Ⅰ）设点O为AC，BD的交点，
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．
所以O为AC的中点，BD⊥AC．
又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
所以PA⊥BD．所以BD⊥平面APC．

（Ⅱ）连结OG．由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
由题意得OG＝PA＝．
在△ABC中，AC＝＝，
所以OC＝AC＝．
在直角△OCD中，OD＝＝2．
在直角△OGD中，tan∠OGD＝．
所以DG与平面APC所成的角的正切值为．
（Ⅲ）连结OG．因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG．
在直角△PAC中，得PC＝．
所以GC＝．
从而PG＝，
所以．
13．（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

【解析】方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．
所以BC⊥平面A1EF．
因此EF⊥BC．

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=．
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
方法二：
（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．

不妨设AC=4，则
A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．
因此，，．
由得．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为，
由（Ⅰ）可得，，
设平面A1BC的法向量为，
由，得，
取，故．
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为．
14．(2018天津)如图，且，，且，且，平面，．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，．

(1)证明：依题意，．设为平面的法向量，则 即 不妨令，可得．
又，可得，
又因为直线平面，所以∥平面．
(2)依题意，可得，，．
设为平面的法向量，则 即
不妨令，可得．
设为平面的法向量，则 即
不妨令，可得．
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为．
(3)设线段的长为()，则点的坐标为，可得．
易知，为平面的一个法向量，故
，
由题意，可得，解得．
所以线段的长为．
15．（2018江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，以为基底，建立空间直角坐标系．
因为，
所以．

(1)因为为的中点，所以，
从而，
故．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
(2)因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
16．（2017天津）如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，
．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．

【解析】如图，以为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得
，，，，，，，．

（Ⅰ）证明：=，=．设，为平面的法向量，
则，即．不妨设，可得．又=（1，2，），可得．
因为平面BDE，所以MN//平面BDE．
（Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量．设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以．不妨设，可得．
因此有，于是．
所以，二面角C—EM—N的正弦值为．
（Ⅲ）依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，．由已知，得，整理得，解得，或．
所以，线段AH的长为或．
17．（2017北京）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，//平面，，．
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）设交点为，连接．
因为平面，平面平面，所以．
因为是正方形，所以为的中点，在中，知为的中点．

（Ⅱ）取的中点，连接，．
因为，所以．
又因为平面平面，且平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为是正方形，所以．
如图建立空间直角坐标系，则，，，
，．
设平面的法向量为，则，即．
令，则，．于是．
平面的法向量为，所以．
由题知二面角为锐角，所以它的大小为．

（Ⅲ）由题意知，，．
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．（2014福建）在平行四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）因为平面，平面平面平面
所以平面又平面所以．
（Ⅱ）过点在平面内作，如图．
由（Ⅰ）知平面平面所以．以为坐标原点，分别以的方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，得．
则．
设平面的法向量．
则即．
取得平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，
则
即直线与平面所成角的正弦值为．
19．(2013天津) 如图， 四棱柱中，侧棱⊥底面，，
，，，为棱的中点．

（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设点在线段上；且直线与平面所成角的正弦值为， 求线段的长．
【解析】解法一 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，

依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)
（Ⅰ）易得=（1，0，-1），=（-1，1，-1），于是，所以．
（Ⅱ） =（1，-2，-1）．设平面的法向量，则，即消去，得y+2z =0，不妨令z=1，可得一个法向量为=（-3，-2，1）．由（Ⅰ）知，，又，可得平面，故=（1，0，-1）为平面的一个法向量．
于是
从而
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为．
（Ⅲ）=（0，1，0），=(1，l，1)，设，，
有．可取=（0，0，2）为平面的一个法向量，设为直线AM与平面所成的角，
则
于是，解得，所以
考点84二面角的计算
1．(2018浙江)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知四棱锥为正四棱锥，如图，连接，记，连接，则平面，取的中点，连接，，，易得，则，，易知．因为∥，，，所以也为与平面所成的角，即与平面所成的角，再根据最小角定理知，，所以，故选D．

2．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则

A．