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高考数学真题专项练习 专题32 概率和统计【理】（解析版）
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这是一份高考数学真题专项练习 专题32 概率和统计【理】（解析版），共94页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
专题32 概率和统计【理】
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理2[来源:Zxxk.Com]
概率
古典概型的概率计算[来源:学。科。网][来源:学|科|网][来源:学科网]
理19
频数分布表
频数分布表，频率与概率
2012
理15
正态分布
正态分布的应用
理19
离散型随机变量及其分布列
频数分布表，频率与概率，离散型随机变量及其分布列
2013
卷1
理3
抽样方法
随机抽样方法的简单应用
理19
离散型随机变量分布列、期望
独立重复事件发生的概率，离散型随机变量分布列、期望
卷2
理14
概率
古典概型的概率计算
理19
概率
古典概型的概率计算
2014
卷1
理5
概率
古典概型的概率计算
理18
频率分布直方图，正态分布
频率分布直方图，正态分布的3原则，二项分布的期望
卷2
理5
概率
条件概率的计算
理19
变量间的相关关系
线性回归方程及其应用
2015
卷1
理4
概率
独立重复事件概率的计算，互斥事件的概率
理19
变量间的相关关系
非线性拟合；线性回归方程
卷2
理3
统计
统计知识，柱形图
理18
茎叶图
茎叶图及其应用，互斥事件和独立事件的概率计算
2016
卷1
理4
概率
几何概型概率的计算
理19
离散型随机变量分布列、期望
条形统计图及其应用，离散型随机变量分布列、期望
卷2
理10
概率
几何概型概率的计算
理19
离散型随机变量的分布列、期望
条件概率、离散型随机变量的分布列、期望
卷3
理4
统计
平均数的计算，统计图及其应用
理18
变量间的相关关系
线性相关与线性回归方程的求法与应用
2017
卷1
理2
概率
古典概型的概率计算
理19
离散性随机变量的分布列、期望
离散性随机变量的分布列、期望，正态分布
卷2
理13
离散性随机变量的分布列、期望
离散性随机变量的分布列、期望，正态分布
理18
频率分布直方图，统计案例
频率分布直方图及其应用，统计案例及其应用
卷3
理3
统计
折线图统计图的应用
理18
离散型随机变量的分布列、期望
频数分布表，离散型随机变量的分布列、数学期望
2018
卷1
理3
统计
扇形统计图及其应用
理10
概率
几何概型概率的计算，数学文化
理20
离散性随机变量的数学期望
次独立重复试验恰好发生次的概率及其最值问题，二项分布，离散性随机变量的数学期望
卷2
理8
概率
古典概型的概率计算
理18
变量间的相关关系
线性回归方程及其应用
卷3
理8
二项分布
二项分布分布列及期望
理18
茎叶图和独立性检验
茎叶图的应用，统计案例及其应用
2019
卷1
理6
概率
古典概型的概率计算
理15
概率
独立重复事件的概率
卷2
理5
统计
中位数、平均数、方差、极差
理13
概率
利用统计数据进行概率的估计
理18
概率
独立事件、互斥事件的概率计算
卷3
理3
统计
抽样数据的统计
理17
频率分布直方图
频率分布直方图，用样本平均数估计总体的平均数
2020
卷1
理5
变量间的相关关系
由散点图选择合适的回归模型
理19
概率
独立事件、互斥事件及独立重复事件概率的计算
卷2
理14
排列与组合
计数原理的应用，排列与组合应用题的解法
理18
变量间的相关关系
平均数的估计，相关系数的计算，抽样方法的选取
卷3
理3
统计
标准差的计算
理18
独立性检验
统计案例及其应用
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021年预测
考点107随机抽样
23次考1次
2021年在选择题和填空题中仍会重点考查各种统计图表、古典概型或几何概型及其概率计算，在解答题中重点考查频率分布直方图及其应用（与概率相结合），离散性随机变量的分布列与均值，二项分布及其应用，统计案例及其应用．
考点108用样本估计总体
23次考10次
考点109变量间的相关关系
23次考7次
考点110随机事件的概率、古典概型、几何概型
23次考20次
考点111离散型随机变量及其分布列、均值与方差、正态分布、二项分布
23次考14次
考点112独立性检验
23次考4次
十年试题分类*探求规律
考点107 随机抽样
1．（2017江苏理）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件．
2．（2014广东理）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．40 C．25 D．20
【答案】C【解析】由，可得分段的间隔为25．故选C．
3．（2014湖南理）对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故，故选D．
4．（2013新课标I理理）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
【答案】C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C．
5．（2014湖北理）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件．
【答案】1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件，在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5：3，所以乙设备生产的产品总数为1800件．
6．（2014天津理）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
【答案】60【解析】应从一年级抽取名．
7．（2012江苏理）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
【答案】15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×=15名学生．
8．（2012浙江理）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________．
【答案】160【解析】总体中男生与女生的比例为，样本中男生人数为．
考点108 用样本估计总体
9．（2020全国Ⅲ文3）设一组样本数据的方差为，则数据的方差为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为，故选：C．
10．（2020全国Ⅲ理3）在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为，因此B选项这一组的标准差最大，故选B．
11．（2020天津4）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B【解析】由题意可得，直径落在区间之间的零件频率为：，
则区间内零件的个数为：，故选B．
12．（2019全国II理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【答案】A【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选A．
13．（2019全国II理13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．
【答案】0．98【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
．
14．（2020上海8）已知有四个数，这四个数的中位数为3，平均数为4，则 ．
【答案】36【解析】设，则，解得：，，解得：，所以．
故答案为：36。
15．（2020江苏3）已知一组数据的平均数为，则的值是 ．
【答案】【解析】由题意得，解得．
16．（2019江苏5）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．
【答案】【解析】 一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为，
所以该组数据的方差为．
17．（2020新高考山东海南9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 （ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
【答案】CD【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确．
18．（2018全国Ⅰ理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A【解析】通解 设建设前经济收入为，则建设后经济收入为，则由饼图可得建设前种植收入为，其他收入为，养殖收入为．建设后种植收入为，其他收入为，养殖收入为，养殖收入与第三产业收入的总和为，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．
优解 因为，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．
19．（2017新课标Ⅲ理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误，故选A．
20．（2016年山东理）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是
A．56 B．60 C．120 D．140
【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22．5小时的频率为(0．16+0．08+0．04)×2．5=0．7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数为200×0．7=140．故选D．
21．(2016年全国III理)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是
A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20℃的月份有5个
【答案】D【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D不正确，故选D．
22．（2015陕西理）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
A．167 B．137 C．123 D．93
【答案】C【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为．
23．（2015新课标I理理I理）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是．
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D【解析】根据柱形图易得选项A，B，C正确，2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份负相关，选项D错误．
24．（2015安徽理）若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设样本数据，，，的标准差为，则，即方差，而数据，，，的方差，所以其标准差为，故选C．
25．（2014广东理）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【答案】A【解析】所抽人数为，近视人数分别为小学生，初中生，高中生，∴抽取的高中生近视人数为，故选A．
26．（2013福建理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50)， [50，60)， [60，70)， [70，80)， [80，90)， [90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588 B．480 C．450 D．120
【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道，故分数在60以上的人数为600×0．8=480人．
27．（2013山东理）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：
则7个剩余分数的方差为（ ）
A． B． C．36 D．
【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是87，99，所以，．
．
28．（2012陕西理）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56，故选A．
29．(2018江苏理)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．
【答案】90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为．
29．（2015湖南理）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是 ．
【答案】4【解析】由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人．
30．（2014江苏理）为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm．
【答案】24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是(0．025 +0．015)×10=0．4，又样本容量是60，所以频数是0．4×60=24．
31．（2013辽宁理）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为．由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数．设分别为，，
则．
设=
=，
因为数据互不相同，分析的构成，得恒成立，
因此判别式，得，所以，即．
32．（2012山东理）右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为＿＿＿＿．
【答案】9【解析】最左边两个矩形面积之和为0．10×1+0．12×1＝0．22，总城市数为11÷0．22＝50，最右面矩形面积为0．18×1＝0．18，50×0．18＝9．
33．（2019全国III理17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0．70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【解析】（1）由已知得，故，b=1–0．05–0．15–0．70=0．10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．
34．（2016年四川理）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1．
∵频率=(频率/组距)*组距，∴，得．
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为，
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)．
（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2．5吨的居民人数所占百分比为：
，即的居民月均用水量小于2．5吨，
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故，
假设月均用水量平均分布，则（吨）．
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．
35．（2015广东理）某工厂36名工人年龄数据如下表
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
45 49
36 39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算(1)中样本的均值和方差；
（3）36名工人中年龄在和之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到）？
【解析】（1）由系统抽样可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为，．其数据为：44，40，36，37，44，43，37．
（2）．
由方差公式，．
（3）因为，所以．
所以36名工人中年龄在和之间的人数等于在区间内的人数，即40，40，41，，39，共23人．
所以36名工人中年龄在和之间的人数所占的百分比为．
36．（2013年新课标I理）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：），试验的观测结果如下：
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1．2 2．7 1．5 2．8 1．8 2．2 2．3 3．2 3．5
2．5 2．6 1．2 2．7 1．5 2．9 3．0 3．1 2．3 2．4
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1．7 1．9 0．8 0．9 2．4 1．2 2．6 1．3 1．4
1．6 0．5 1．8 0．6 2．1 1．1 2．5 1．2 2．7 0．5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【解析】（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，又观测结果可得
（0．6+1．2+1．2+1．5+1．5+1．8+2．2+2．3+2．3+2．4+2．5+2．6+2．7+2．7+2．8+3．0+3．1+3．2+3．5）=2．3，
由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好．
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
A药
B药
6
0．
5 5 6 8 9
8 5 5 2 2
1．
1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2
2．
1 4 5 6 7
5 2 1 0
3．
2
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2．3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
37．（2012广东理）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段
x：y
1：1
2：1
3：4
4：5
【解析】（1）
（2）平均分为
（3）数学成绩在内的人数为
人．
数学成绩在外的人数为人．
答：（1）（2）这100名学生语文成绩的平均分为
（3）数学成绩在外的人数为人．
考点109 变量间的相关关系
38．（2020全国Ⅰ文理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是，故选D．
39．（2017山东理）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为，，所以，，故选C．
40．（2015福建理）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出（万元）
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为
A．11．4万元 B．11．8万元 C．12．0万元 D．12．2万元
【答案】B【解析】∵，，，∴，
∴回归方程为，把代入上式得，(万元)，故选B．
41．（2014重庆理）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D．且直线必过点，代入A、B得A正确．
42．（2014湖北理）根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4．0
2．5
0．5
得到的回归方程为，则
A．， B．， C．， D．，
【答案】A【解析】画出散点图知，故选A．
43．（2012新课标理）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1，2，…，n)都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．−1 B．0 C． D．1
【答案】D【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故故选D．
44．（2014江西理）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是
【答案】D【解析】因为，
，，，
则有，所以阅读量与性别关联的可能性最大，故选D．
45．（2012湖南理）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0．85x85．71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58．79kg
【答案】D【解析】由回归方程为=0．85x85．71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知
，
所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确．
46．（2011山东理）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
【答案】B【解析】样本中心点是（3．5，42），则，所以回归方程是，把代入得．
47．（2018全国Ⅱ理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
48．(2016新课标Ⅰ理II)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：，，，≈2．646．
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
，，，
，
．
因为与的相关系数近似为0．99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
．
所以，关于的回归方程为：．
将2016年对应的代入回归方程得：．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1．82亿吨．
49．（2015新课标I理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46．6
563
6．8
289．8
1．6
1469
108．8
表中， =．
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于．
，
所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为．
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值．
（ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润的预报值，所以当，即时，取得最大值，故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．
50．（2014新课标II理）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【解析】（I） 由所给数据计算得（1+2+3+4+5+6+7）=4，（2．9+3．3+3．6+4．4+4．8+5．2+5．9）=4．3
=9+4+1+0+1+4+9=28，
=，
，，所求回归方程为．
51．（2020全国Ⅱ文理18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2） 求样本的相关系数（精确到）；
（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
【解析】（1）样区野生动物平均数为，
地块数为，该地区这种野生动物的估计值为．
（2）样本的相关系数为．
（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样．先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．
考点110 随机事件的概率、古典概型、几何概型
52．（2020全国Ⅰ文4）设为正方形的中心，在中任取点，则取到的点共线的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，从个点中任取个有，，共种不同取法，点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到点共线的概率为，故选A．
53．（2020全国Ⅱ文理4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者 （ ）
A．名 B．名 C．名 D．名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名，故选B．
54．（2020新高考山东海南5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为，故选：C．
55．（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率，故选A．
56．（2018全国Ⅰ理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则
A． B． C． D．
【答案】A【解析】通解 设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，所以，由几何概型的知识知，故选A．
优解 不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积．
根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，
，，故选A．
57．（2018全国Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率，故选C．
58．（2017新课标Ⅰ理）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．故选B．
59．（2017山东理）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不放回的抽取2次有，如图
可知与是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40，所求概率为．
60．（2016新课标Ⅰ理）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为．
61．（2016新课标Ⅰ理）从区间随机抽取2n个数，，…，，，，…，，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．
62．（2015广东理）袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】 基本事件总数为，恰有个白球与1个红球的基本事件为，所求概率为．
63．（2014新课标I理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
． ． ． ．
【答案】D【解析】．
64．（2014江西理）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种，点数之和为5的有4中，所以所求概率为．
65．（2014湖南理）在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】区间长度为，的长度为，故满足条件的概率为．
66．（2014辽宁理）若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由几何模型的概率计算公式，所求概率．
67．（2014陕西理）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率．
68．（2014湖北理）由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意作图，如图所示，的面积为，图中阴影部分的面积为，则所求的概率，故选D．
69．（2013陕西理）如图，在矩形区域ABCD的A， C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为故所求概率为，故选A．
70．（2013安徽理）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率．
71．（2013新课标I理）从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】任取两个不同的数有共6种，2个数之差的绝对值为2的有，故．
72．（2013湖南理）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，
由勾股定理可得，解得，即，故选D．
73．（2012辽宁理）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32的概率为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图所示，令，
则，矩形面积设为，则，
解得，该矩形面积小于32的概率为，故选C．
74．（2012北京理）设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内的点的坐标为，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为．
75．（2011新课标理）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1，2，3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”共3个，因此．
76．（2020江苏4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷次，观向上的点数，则点数和为的概率是 ．
【答案】
【解析】总事件数为，点数和为含共个基本事件，故所求的概率为．
77．（2020天津13）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．故答案为：；．
78．（2019江苏理6）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
【答案】【解析】从3名男同学和2名女同学中任故选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数，
故选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数，
所以故选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
79．（2019全国I理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利
时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客
主”．设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则
甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】【解析】由题意可得，一共比赛了5场，且第5场甲获胜，前4场甲队胜3场，输1场，有2种情况：①甲队主场输1场，其概率为：；
②甲队客场输1场，其概率为：，由于第5场必定是甲队胜，所以，则甲队以4：1获胜的概率为0．18．
80．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
【答案】【解析】记2名男生分别为，，3名女生分别为，，，则从中任故选2名学生有，，，，，，，，，，共10种情况，其中恰好故选中2名女生有，，，共3种情况，故所求概率为．
81．（2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示）．
【答案】【解析】从5个砝码随机取3个共有种，总质量为9克共有9=5+3+1，9=5+2+2两种情况，所以三个砝码的总质量为9克的概率是．
82．（2017江苏理）记函数 的定义域为．在区间上随机取一个数，则 的概率是 ．
【答案】【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为
．
83．(2016年山东理)在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 ．
【答案】．【解析】圆的圆心为，半径，故由直线与圆相交可得，即，整理得，得．
84．（2015江苏理）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【答案】【解析】从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为．
85．（2014新课标理）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．
【答案】【解析】设2本数学书分别为A、B，语文书为G，则所有的排放顺序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC、BAC、CAB、CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率．
86．（2014重庆理）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）
【答案】【解析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第分钟，第分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为．小张比小王至少早5分钟到校表示的事件，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为．
87．（2014新课标II理）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．
【答案】【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中故选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们故选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．故所求概率为．
88．（2014浙江理）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是__________；
【答案】【解析】设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为，甲、乙两人各抽取一张的所有情况有共六种，其中两人都中奖的情况有共2种，所以概率为
89．(2013山东理)在区间[-3，3]上随机取一个数，使得成立的概率为____．
【答案】【解析】设，
则．由，解得，
即当时，．由几何概型公式得所求概率为．
90．（2013福建理）利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 ．
【答案】【解析】本题考查的是几何概型求概率．，即，所以．
91．（2013新课标理）从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______．
【答案】【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为．
92．（2013湖北理）在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 ．
【答案】3【解析】由几何概型，得，解得．
93．（2012江苏理）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
【答案】【解析】由题意得，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以．
94．（2012浙江理）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________．
【答案】【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，故选择点必含中心，概率为．
95．（2011湖南理）已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
（2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
【解析】（1）5 根据点到直线的距离公式得．
（2） 设直线到圆心的距离为3，则，取，则直线 把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率，由于圆的半径是，则可得直线截得的劣弧所对的圆心角为，故所求的概率是．
96．(2011江苏理)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
【答案】【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件为{1，2}，{2，4}共2个，所以概率为．
97．【2020全国Ⅰ文17）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表 乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【解析】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为．
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
∴甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为元，∴乙分厂加工件产品的平均利润为元每件，故厂家选择甲分厂承接加工任务．
98．（2020全国Ⅰ理19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）记事件甲连胜四场，则．
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为
，
∴，需要进行第五场比赛的概率为．
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：，，，，，，，，∴甲赢的概率为．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，∴丙赢的概率为．
99．（2019全国II理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
【解析】（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，
或者均由乙得分．因此P（X=2）=0．5×0．4+（1–0．5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0．5×（1–0．4）+（1–0．5）×0．4]×0．5×0．4=0．1．
100．（2013广东理）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．
【解析】（1）由题意知苹果的样本总数，苹果的重量在的频数为20，∴苹果的重量在的频率为．
（2）设从重量在的苹果中抽取个，则从重量在的苹果中抽取 个．∵从表格可知的频数分别为5，15．∴，解得．
（3）设这4个苹果中重量在的1个记为，重量在中的3个为，从中任取两个，可能的情况有：
（，）（，）（，）（，）（，）（，）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（，）（，）（，）共3种，所以．
101．（2016新课标Ⅰ理）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0．85a
a
1．25a
1．5a
1．75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0．30
0．15
0．20
0．20
0．10
0．05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
102．（2015安徽理）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）．
【解析】（1）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则．
（2）的可能取值为，，．
．
故的分布列为
．
103．（2014山东理）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【解析】(I)因为样本容量与总体中的个数的比是，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：，，，
所以A，B，C三个地区的商品被故选取的件数分别为1，3，2．
（II）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为，
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：，，
，，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：共4个，所有，即这2件商品来自相同地区的概率为．
104．（2014天津理）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果
（Ⅱ）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率．
【解析】（I）从6名同学中随机故选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
（II）故选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件发生的概率
105．（2013辽宁理）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
（I）所取的2道题都是甲类题的概率；
（II）所取的2道题不是同一类题的概率．
【解析】（I）将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以 =
（II）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以=．
106．（2013湖南理）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(Ⅰ)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点，内部共有3个格点．
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0，0，1，1，0，1，1，0，0，1，2，1对格点，共8对格点恰好“相近”．所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机故选取一株作物，它们恰好“相近”的概率．
（Ⅱ）三角形共有15个格点．与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4，0)，(0，4)．，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0，0)， (1，3)， (2，2)，(3，1)．，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1，0)， (2，0)， (3，0)，(0，1，) ，(0，2)，(0，3，)．，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1)， (1，2)， (2，1)．
如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
概率P
，．
107．（2012新课标理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；
当日需求量时，利润，∴关于的解析式为；
（Ⅱ）(i) 这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为=76．4；
(ii) 利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
108．（2012山东理）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为．
109．（2011陕西理）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
的频率
0．1
0．2
0．3
0．2
0．2
的频率
0
0．1
0．4
0．4
0．1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）表示事件“甲故选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙故选择路径时，50分钟内赶到火车站”，=1，2．用频率估计相应的概率可得
=0．1+0．2+0．3=0．6，=0．1+0．4=0．5，
＞，甲应故选择．
=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，=0．1+0．4+0．4=0．9，
＞，乙应故选择．
（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的故选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知，又由题意知，A，B独立，
的分布列为
0
1
2
0．04
0．42
0．54
110．（2011山东理）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
【解析】（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任故选1名的所有可能的结果为：（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种．
从中故选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
故选出的两名教师性别相同的概率为
（II）从甲校和乙校报名的教师中任故选2名的所有可能的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，从中故选出两名教师来自同一学校的结果有：（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，故选出的两名教师来自同一学校的概率为
考点111 离散型随机变量及其分布列、均值与方差、正态分布、二项分布
111．（2020新高考山东12）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的值为，且，，定义的信息熵，则 （ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，则
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确；对于B选项，若，则，，所以，
当时，，
当时，，两者相等，所以B选项错误．
对于C选项，若，则，
则随着的增大而增大，所以C选项正确；对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）．
．
．
由于，所以，所以，
所以，所以，所以D选项错误，故选：AC．
112．（2019浙江7）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
【解析】 ，
，
因为，所以先减小后增大，故选D．
113．（2018全国Ⅲ理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则=
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
【答案】B【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．
由，得，即，所以，所以．故选B．
114．（2018浙江理）设，随机变量的分布列是
0
1
2
则当在内增大时，
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】D【解析】由题可得，所以，所以当在内增大时，先增大后减小．故选D．
115．（2017浙江理）已知随机变量满足，，=1，2．
若，则
A．<，< B．<，>
C．>，< D．>，>
【答案】A【解析】由题意可得
0
1
0
1
由两点分布，；，，
∵，
∵，∴，，∴<，<，故选A．
116．（2014浙江理）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】解法一（特值法）取=3进行计算、比较即可．
解法二 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为，则的所有可能取值为0，1，则，，
所以，
所以；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为，则的所有可能的取值为0，1，2，则，， ，∴，∴，所以，，故选A．
117．（2020浙江16）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 ； ．
【答案】；
【解析】表示第一次拿到的是红球，设为事件A，或第一次是绿球，第二次是红球，设为事件B，则；
表示拿出红球时已经拿出了一个黄球，即第一次拿到黄球，第二次拿到红球，概率，或是前两次拿到的是一个黄球一个是绿球，，∴ ；
，表示拿到红球时已经拿出了两个黄球，即前两次黄球，第三次红球，，说是第四次拿到红球，，∴，
，故答案为：；．
118．（2017新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，Χ表示抽到的二等品件数，则= ．
【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．
119．（2016年四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 ．
【答案】【解析】实验成功的概率，故，所以．
120．（2014浙江理）随机变量的取值为0，1，2，若，，则__．
【答案】【解析】由题意设的分布列如下
0
1
2
由，可得，所以．
121．（2020江苏25）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【解析】（1），，
．
（2），
，
因此，从而，
即，．
122．（2019天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】（I）∵甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故，从面．
∴随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（II）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，
且．
由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（I）知：
．
123．（2019全国I理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】试题分析：
试题解析：（1）由题意可列分布列：
（2）
（ⅰ）由题意可得，，
此时的分布列为：
故，即
化简可得：即，
又
故数列为公比为4的等比数列。
（ⅱ）由等比数列求和公式可得：
即，
又，即。
此时说明，甲累计得4分，乙累计得0分，概率极小，符合甲乙两种药物都有效用的说法。
124．（2019北京理17）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两个支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．
(Ⅱ)由题意可知，仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，且X可能的取值为0，1，2，
，，，
X的分布列为：
X
0
1
2
其数学期望：．
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”．
125．（2018北京理）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0．4
0．2
0．15
0．25
0．2
0．1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25=50，故所求概率为．
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为=．
由题意知：估计为0．25，估计为0．2，故所求概率估计为0．25×0．8+0．75×0．2=0．35．
(3)>>=>>．
126．（2018全国Ⅰ理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为．因此
．
令，得．当时，；
当时，．
所以的最大值点为．
(2)由(1)知，．
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知，，即．
所以．
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于，故应该对余下的产品作检验．
127．（2018天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)（i）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
(=0，1，2，3)．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（ii）设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则，且与互斥，
由（i）知，，，故．
所以，事件发生的概率为．
128．（2017新课标Ⅲ理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶)为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知
，，
．
因此的分布列为
0．2
0．4
0．4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，
因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
129．（2017江苏理）已知一个口袋有个白球，个黑球（，，），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉（=1，2，3，…，）．
1
2
3
…
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明．
【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为： ．
(2)随机变量的概率分布为：
…
…
…
…
随机变量的期望为：．
所以
，．
130．（2017天津理）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【解析】（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
．
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
131．（2017山东理）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率．
（Ⅱ）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望．
【解析】（Ⅰ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则
(Ⅱ)由题意知可取的值为：．则
因此的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望是
==2．
132．（2017北京理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1．7的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）
【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为．
（Ⅱ）由图知，A，B，C，D四人中，指标的值大于1．7的有2人：A和C．
所以的所有可能取值为0，1，2．
．
所以的分布列为
0
1
2
故的期望．
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差．
133．（2016新课标Ⅰ理）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而
；；
；；
；；
．
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19．
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．
当时，．
当时，．
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
134．（2015福建理）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
（Ⅱ）依题意得，所有可能的取值是1，2，3
又．
所以的分布列为
1
2
3
所以．
135．（2015山东理）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量是取值为：0，-1，1，
因此，，，
所以的分布列为
0
-1
1
则 ．
136．（2015四川理）某市两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了3名男生，2名女生，中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设表示参赛的男生人数，求得分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从中抽取（等价于 中学没有学生入选代表队）的概率为．
因此，中学至少1名学生入选的概率为．
（2）根据题意，的可能取值为1，2，3．
，，，
所以的分布列为：
1
2
3
因此，的期望为，．
137．（2014新课标I理）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187．8，212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求．
附：≈12．2．若～，则=0．6826，=0．9544．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
=200
（II）（i）由（I）知，，从而
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．682 6，
依题意知X-B(100，0．682 6)，所以
138．（2014山东理）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分．对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为．假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．
【解析】（Ⅰ）记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”（）．
则，，；
记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”（）．
则，，；
记为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”
由题意，
由事件的独立性和互斥性，
=
==，
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为．
（Ⅱ）由题意，随机变量可能的取值为，
由事件的独立性和互斥性，得，
，，
，，
，
0
1
2
3
4
6
139．（2014辽宁理）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差．
【解析】（Ⅰ）用表示日销量，则
代表连续2日销量不低于100且一日销量低于50，
则，故所求时间的概率为．
（Ⅱ）可取0，1，2，3．由（Ⅰ）可知日销量不低于100的概率．
∴，，，
的分布列如下
X
0
1
2
3
P
0．064
0．288
0．432
0．216
∴，．
140．（2014广东理）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25，30 ] 3 0．12
(30，35 ] 5 0．20
(35，40 ] 8 0．32
(40，45 ]
(45，50 ]
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率．
【解析】（1），；
（2）样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0．2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为，则，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0．5904．
141．（2014安徽理）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．
【解析】用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， 表示“第局甲获胜”， 表示“第局乙获胜”，则
（Ⅰ）
（Ⅱ）的可能取值为2，3，4，5
故的分布列为
2
3
4
5
∴．
142．（2013新课标I理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【解析】解法一（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件．第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品为事件，这批产品通过检验为事件题意有A=，且与互斥，所以
．
（2）X的可能取值为400、500、800；
，，，则X的分布列为
X
400
500
800
P
解法二 （1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD)，且AB与CD互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=．
（2）X的可能取值为400，500，800，并且
P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
EX=400×+500×+800×=506．25．
143．（2013北京理）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望．
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
【解析】设表示事件“此人于3月日到达该市”
根据题意，，
（Ⅰ）设为事件“此人达到当日空气重度污染”，则．
所以．
（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为，且
所以的分布列为
0
1
2
故的期望．
（Ⅲ）从3月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
144．（2012新课标理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【解析】（1）当时，
当时，
得：
（2）（i）可取，，
的分布列为
，．
（ii）购进17枝时，当天的利润为
， 得：应购进17枝．
145．（2012山东理）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是，每命中一次得分，没命中得分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望．
【解析】（Ⅰ）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B， “该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意可知，，由于
=；
（Ⅱ）
，
X
0
1
2
3
4
5
P
EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=．
146．（2012福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间(年)
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1．8
2．9
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
【解析】（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则．
（II）依题意，的分布列分别如下：
1
2
3
1．8
2．9
（III）由（II）得（万元 ），（万元 ），∵，∴应生产甲品牌轿车．
147．（2011北京理）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．（注：方差，其中为，，…… 的平均数）
【解析】（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19．
148．（2011江西理）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．
【解析】（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，
即
X
0
1
2
3
4
P
（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500，则
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
149．（2015湖北理）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误．又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误．对任意正数，，，C正确，D错误．
150．（2015山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4．56% B．13．59% C．27．18% D．31．74%
【答案】B【解析】．
151．（2014新课标II理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45
【答案】A【解析】根据条件概率公式，可得所求概率为．
152．（2011湖北理）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线对称，所以，并且，则，所以故选C．
x
y
O
4
2
153．（2017新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，Χ表示抽到的二等品件数，则= ．
【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得
154．（2016四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 ．
【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中
在1次试验中成功的概率为，所以在2次试验中成功次数的概率为，，．
解法2由题意知，实验成功的概率，故，所以．
155．（2015广东理）已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
【答案】【解析】由，得．
156．（2012新课标理）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
【答案】【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．
157．（2017新课标Ⅰ理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ−3σ，μ+3σ)之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．因此
．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，，得的估计值为，的估计值为
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10．02．
，剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为．
158．（2016新课标Ⅱ理）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0．85a
a
1．25a
1．5a
1．75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0．30
0．15
0．20
0．20
0．10
0．05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
159．（2015湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，
=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，=｛顾客抽奖1次能获奖｝．
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，
且=，=+，C=+．
因()==，()==，
所以()=()=()()==，
()=(+)=()+()
=() (1-())+(1-())()=(1-)+(1-)=，
故所求概率为(C)= (+)=()+()=+=．
（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以．于是 (=0)==，
(=1)==，
(=2)==，(=3)== ．
故的分布列为
0
1
2
3
的数学期望为 ()=3=．
160．（2015湖北理）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0．3
0．5
0．2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【解析】（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有
（1）目标函数为．
第10题解答图1
第10题解答图2
第10题解答图3
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为
8160
10200
10800
0．3
0．5
0．2
因此，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为．
161．（2015新课标Ⅱ理）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”，则与独立，与独立，与互斥，．
．
由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．
故，，，，故．
162．（2014山东理）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设各局比赛结果互相独立．
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分的分布列及数学期望．
【解析】：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，
故，，
所以，甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率分别是，，；
（2）设“乙队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以，
由题意，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，，根据事件的互斥性得
，，
，，
故的分布列为
0
1
2
3
所以．
163．（2014陕西理）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
【解析】（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元／kg”．由题设知，．
因为利润=产量市场价格成本，所以所有可能的取值为
，，，，，
，
，
所以的分布列为
4000
2000
800
0．3
0．5
0．2
（Ⅱ）设表示事件“第季利润不少于2000元”，
由题意知相互独立，由（1）知，
3季利润均不少于2000元的概率为，
3季中有2季利润不少于2000元的概率为，
所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为．
164．（2014广东理）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30 ]
3
0．12
(30，35 ]
5
0．20
(35，40 ]
8
0．32
(40，45 ]
(45，50 ]
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率．
【解析】：（1），．
（2）样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0．2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为，则，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0．5904．
165．（2011大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3，设各车主购买保险相互独立．
(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求的期望．
【解析】记表示事件： 该地的1位车主购买甲种保险；
表示事件： 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
表示事件： 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；
表示事件： 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
（Ⅰ）， ， ，．
（Ⅱ），，，即服从二项分布，所以期望．
考点112 独立性检验
166．（2020全国Ⅲ文理18）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理
数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
人次
空气质量好
空气质量不好
附：
【解析】（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1的概率为；该市一天的空气质量等级为2的概率为；该市一天的空气质量等级为3的概率为；该市一天的空气质量等级为4的概率为．
（2）由题意，计算得．
（3）列联表如下：
人次≤400
人次＞400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100
由表中数据可得：，∴有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
167．（2020新高考山东海南19）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有．
【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关．
168．（2018全国Ⅲ理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
(2)由茎叶图知．
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
169．（2017课标II理18）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量50kg
箱产量50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)
附：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知．
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
故的估计值为．
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为，故的估计值为．因此，事件的概率估计值为．
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg
箱产量50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
，由于，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
，箱产量低于55kg的直方图面积为
，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为．
170．（2014新课标I理）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
（I）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【解析】（I）
（II）质量指标值的样本平均数为80×0．06+90×0．26+100×0．38+110×0．22+120×0．08 =100．
质量指标值的样本方差为=104．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38+0．22+0．08=0．68．
由于该估计值小于0．8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
171．（2012辽宁理）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（I）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（II）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
0．05
0．01
3．841
6．635
附： ，
【解析】(I)由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
由2×2列联表中数据代入公式计算，得：
因为3．030<3．841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（II）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间
其中表示男性，．表示女性，．由10个基本事件组成，而且这些事件的出现时等可能的．用A表示“任故选2人中至少有1名是女性”这一事件，则，∴．
专题32 概率和统计【理】
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理2[来源:Zxxk.Com]
概率
古典概型的概率计算[来源:学。科。网][来源:学|科|网][来源:学科网]
理19
频数分布表
频数分布表，频率与概率
2012
理15
正态分布
正态分布的应用
理19
离散型随机变量及其分布列
频数分布表，频率与概率，离散型随机变量及其分布列
2013
卷1
理3
抽样方法
随机抽样方法的简单应用
理19
离散型随机变量分布列、期望
独立重复事件发生的概率，离散型随机变量分布列、期望
卷2
理14
概率
古典概型的概率计算
理19
概率
古典概型的概率计算
2014
卷1
理5
概率
古典概型的概率计算
理18
频率分布直方图，正态分布
频率分布直方图，正态分布的3原则，二项分布的期望
卷2
理5
概率
条件概率的计算
理19
变量间的相关关系
线性回归方程及其应用
2015
卷1
理4
概率
独立重复事件概率的计算，互斥事件的概率
理19
变量间的相关关系
非线性拟合；线性回归方程
卷2
理3
统计
统计知识，柱形图
理18
茎叶图
茎叶图及其应用，互斥事件和独立事件的概率计算
2016
卷1
理4
概率
几何概型概率的计算
理19
离散型随机变量分布列、期望
条形统计图及其应用，离散型随机变量分布列、期望
卷2
理10
概率
几何概型概率的计算
理19
离散型随机变量的分布列、期望
条件概率、离散型随机变量的分布列、期望
卷3
理4
统计
平均数的计算，统计图及其应用
理18
变量间的相关关系
线性相关与线性回归方程的求法与应用
2017
卷1
理2
概率
古典概型的概率计算
理19
离散性随机变量的分布列、期望
离散性随机变量的分布列、期望，正态分布
卷2
理13
离散性随机变量的分布列、期望
离散性随机变量的分布列、期望，正态分布
理18
频率分布直方图，统计案例
频率分布直方图及其应用，统计案例及其应用
卷3
理3
统计
折线图统计图的应用
理18
离散型随机变量的分布列、期望
频数分布表，离散型随机变量的分布列、数学期望
2018
卷1
理3
统计
扇形统计图及其应用
理10
概率
几何概型概率的计算，数学文化
理20
离散性随机变量的数学期望
次独立重复试验恰好发生次的概率及其最值问题，二项分布，离散性随机变量的数学期望
卷2
理8
概率
古典概型的概率计算
理18
变量间的相关关系
线性回归方程及其应用
卷3
理8
二项分布
二项分布分布列及期望
理18
茎叶图和独立性检验
茎叶图的应用，统计案例及其应用
2019
卷1
理6
概率
古典概型的概率计算
理15
概率
独立重复事件的概率
卷2
理5
统计
中位数、平均数、方差、极差
理13
概率
利用统计数据进行概率的估计
理18
概率
独立事件、互斥事件的概率计算
卷3
理3
统计
抽样数据的统计
理17
频率分布直方图
频率分布直方图，用样本平均数估计总体的平均数
2020
卷1
理5
变量间的相关关系
由散点图选择合适的回归模型
理19
概率
独立事件、互斥事件及独立重复事件概率的计算
卷2
理14
排列与组合
计数原理的应用，排列与组合应用题的解法
理18
变量间的相关关系
平均数的估计，相关系数的计算，抽样方法的选取
卷3
理3
统计
标准差的计算
理18
独立性检验
统计案例及其应用
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021年预测
考点107随机抽样
23次考1次
2021年在选择题和填空题中仍会重点考查各种统计图表、古典概型或几何概型及其概率计算，在解答题中重点考查频率分布直方图及其应用（与概率相结合），离散性随机变量的分布列与均值，二项分布及其应用，统计案例及其应用．
考点108用样本估计总体
23次考10次
考点109变量间的相关关系
23次考7次
考点110随机事件的概率、古典概型、几何概型
23次考20次
考点111离散型随机变量及其分布列、均值与方差、正态分布、二项分布
23次考14次
考点112独立性检验
23次考4次
十年试题分类*探求规律
考点107 随机抽样
1．（2017江苏理）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件．
2．（2014广东理）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．40 C．25 D．20
【答案】C【解析】由，可得分段的间隔为25．故选C．
3．（2014湖南理）对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故，故选D．
4．（2013新课标I理理）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
【答案】C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C．
5．（2014湖北理）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件．
【答案】1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件，在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5：3，所以乙设备生产的产品总数为1800件．
6．（2014天津理）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
【答案】60【解析】应从一年级抽取名．
7．（2012江苏理）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
【答案】15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×=15名学生．
8．（2012浙江理）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________．
【答案】160【解析】总体中男生与女生的比例为，样本中男生人数为．
考点108 用样本估计总体
9．（2020全国Ⅲ文3）设一组样本数据的方差为，则数据的方差为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为，故选：C．
10．（2020全国Ⅲ理3）在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为，因此B选项这一组的标准差最大，故选B．
11．（2020天津4）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B【解析】由题意可得，直径落在区间之间的零件频率为：，
则区间内零件的个数为：，故选B．
12．（2019全国II理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【答案】A【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选A．
13．（2019全国II理13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．
【答案】0．98【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
．
14．（2020上海8）已知有四个数，这四个数的中位数为3，平均数为4，则 ．
【答案】36【解析】设，则，解得：，，解得：，所以．
故答案为：36。
15．（2020江苏3）已知一组数据的平均数为，则的值是 ．
【答案】【解析】由题意得，解得．
16．（2019江苏5）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．
【答案】【解析】 一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为，
所以该组数据的方差为．
17．（2020新高考山东海南9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 （ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
【答案】CD【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确．
18．（2018全国Ⅰ理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A【解析】通解 设建设前经济收入为，则建设后经济收入为，则由饼图可得建设前种植收入为，其他收入为，养殖收入为．建设后种植收入为，其他收入为，养殖收入为，养殖收入与第三产业收入的总和为，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．
优解 因为，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．
19．（2017新课标Ⅲ理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误，故选A．
20．（2016年山东理）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是
A．56 B．60 C．120 D．140
【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22．5小时的频率为(0．16+0．08+0．04)×2．5=0．7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数为200×0．7=140．故选D．
21．(2016年全国III理)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是
A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20℃的月份有5个
【答案】D【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D不正确，故选D．
22．（2015陕西理）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
A．167 B．137 C．123 D．93
【答案】C【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为．
23．（2015新课标I理理I理）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是．
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D【解析】根据柱形图易得选项A，B，C正确，2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份负相关，选项D错误．
24．（2015安徽理）若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设样本数据，，，的标准差为，则，即方差，而数据，，，的方差，所以其标准差为，故选C．
25．（2014广东理）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【答案】A【解析】所抽人数为，近视人数分别为小学生，初中生，高中生，∴抽取的高中生近视人数为，故选A．
26．（2013福建理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50)， [50，60)， [60，70)， [70，80)， [80，90)， [90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588 B．480 C．450 D．120
【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道，故分数在60以上的人数为600×0．8=480人．
27．（2013山东理）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：
则7个剩余分数的方差为（ ）
A． B． C．36 D．
【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是87，99，所以，．
．
28．（2012陕西理）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56，故选A．
29．(2018江苏理)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．
【答案】90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为．
29．（2015湖南理）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是 ．
【答案】4【解析】由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人．
30．（2014江苏理）为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm．
【答案】24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是(0．025 +0．015)×10=0．4，又样本容量是60，所以频数是0．4×60=24．
31．（2013辽宁理）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为．由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数．设分别为，，
则．
设=
=，
因为数据互不相同，分析的构成，得恒成立，
因此判别式，得，所以，即．
32．（2012山东理）右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为＿＿＿＿．
【答案】9【解析】最左边两个矩形面积之和为0．10×1+0．12×1＝0．22，总城市数为11÷0．22＝50，最右面矩形面积为0．18×1＝0．18，50×0．18＝9．
33．（2019全国III理17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0．70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【解析】（1）由已知得，故，b=1–0．05–0．15–0．70=0．10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．
34．（2016年四川理）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1．
∵频率=(频率/组距)*组距，∴，得．
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为，
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)．
（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2．5吨的居民人数所占百分比为：
，即的居民月均用水量小于2．5吨，
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故，
假设月均用水量平均分布，则（吨）．
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．
35．（2015广东理）某工厂36名工人年龄数据如下表
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
45 49
36 39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算(1)中样本的均值和方差；
（3）36名工人中年龄在和之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到）？
【解析】（1）由系统抽样可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为，．其数据为：44，40，36，37，44，43，37．
（2）．
由方差公式，．
（3）因为，所以．
所以36名工人中年龄在和之间的人数等于在区间内的人数，即40，40，41，，39，共23人．
所以36名工人中年龄在和之间的人数所占的百分比为．
36．（2013年新课标I理）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：），试验的观测结果如下：
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1．2 2．7 1．5 2．8 1．8 2．2 2．3 3．2 3．5
2．5 2．6 1．2 2．7 1．5 2．9 3．0 3．1 2．3 2．4
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1．7 1．9 0．8 0．9 2．4 1．2 2．6 1．3 1．4
1．6 0．5 1．8 0．6 2．1 1．1 2．5 1．2 2．7 0．5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【解析】（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，又观测结果可得
（0．6+1．2+1．2+1．5+1．5+1．8+2．2+2．3+2．3+2．4+2．5+2．6+2．7+2．7+2．8+3．0+3．1+3．2+3．5）=2．3，
由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好．
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
A药
B药
6
0．
5 5 6 8 9
8 5 5 2 2
1．
1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2
2．
1 4 5 6 7
5 2 1 0
3．
2
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2．3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
37．（2012广东理）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段
x：y
1：1
2：1
3：4
4：5
【解析】（1）
（2）平均分为
（3）数学成绩在内的人数为
人．
数学成绩在外的人数为人．
答：（1）（2）这100名学生语文成绩的平均分为
（3）数学成绩在外的人数为人．
考点109 变量间的相关关系
38．（2020全国Ⅰ文理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是，故选D．
39．（2017山东理）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为，，所以，，故选C．
40．（2015福建理）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出（万元）
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为
A．11．4万元 B．11．8万元 C．12．0万元 D．12．2万元
【答案】B【解析】∵，，，∴，
∴回归方程为，把代入上式得，(万元)，故选B．
41．（2014重庆理）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D．且直线必过点，代入A、B得A正确．
42．（2014湖北理）根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4．0
2．5
0．5
得到的回归方程为，则
A．， B．， C．， D．，
【答案】A【解析】画出散点图知，故选A．
43．（2012新课标理）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1，2，…，n)都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．−1 B．0 C． D．1
【答案】D【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故故选D．
44．（2014江西理）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是
【答案】D【解析】因为，
，，，
则有，所以阅读量与性别关联的可能性最大，故选D．
45．（2012湖南理）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0．85x85．71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58．79kg
【答案】D【解析】由回归方程为=0．85x85．71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知
，
所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确．
46．（2011山东理）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
【答案】B【解析】样本中心点是（3．5，42），则，所以回归方程是，把代入得．
47．（2018全国Ⅱ理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
48．(2016新课标Ⅰ理II)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：，，，≈2．646．
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
，，，
，
．
因为与的相关系数近似为0．99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
．
所以，关于的回归方程为：．
将2016年对应的代入回归方程得：．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1．82亿吨．
49．（2015新课标I理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46．6
563
6．8
289．8
1．6
1469
108．8
表中， =．
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于．
，
所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为．
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值．
（ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润的预报值，所以当，即时，取得最大值，故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．
50．（2014新课标II理）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【解析】（I） 由所给数据计算得（1+2+3+4+5+6+7）=4，（2．9+3．3+3．6+4．4+4．8+5．2+5．9）=4．3
=9+4+1+0+1+4+9=28，
=，
，，所求回归方程为．
51．（2020全国Ⅱ文理18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2） 求样本的相关系数（精确到）；
（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
【解析】（1）样区野生动物平均数为，
地块数为，该地区这种野生动物的估计值为．
（2）样本的相关系数为．
（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样．先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．
考点110 随机事件的概率、古典概型、几何概型
52．（2020全国Ⅰ文4）设为正方形的中心，在中任取点，则取到的点共线的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，从个点中任取个有，，共种不同取法，点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到点共线的概率为，故选A．
53．（2020全国Ⅱ文理4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者 （ ）
A．名 B．名 C．名 D．名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名，故选B．
54．（2020新高考山东海南5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为，故选：C．
55．（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率，故选A．
56．（2018全国Ⅰ理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则
A． B． C． D．
【答案】A【解析】通解 设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，所以，由几何概型的知识知，故选A．
优解 不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积．
根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，
，，故选A．
57．（2018全国Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率，故选C．
58．（2017新课标Ⅰ理）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．故选B．
59．（2017山东理）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不放回的抽取2次有，如图
可知与是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40，所求概率为．
60．（2016新课标Ⅰ理）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为．
61．（2016新课标Ⅰ理）从区间随机抽取2n个数，，…，，，，…，，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．
62．（2015广东理）袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】 基本事件总数为，恰有个白球与1个红球的基本事件为，所求概率为．
63．（2014新课标I理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
． ． ． ．
【答案】D【解析】．
64．（2014江西理）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种，点数之和为5的有4中，所以所求概率为．
65．（2014湖南理）在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】区间长度为，的长度为，故满足条件的概率为．
66．（2014辽宁理）若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由几何模型的概率计算公式，所求概率．
67．（2014陕西理）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率．
68．（2014湖北理）由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意作图，如图所示，的面积为，图中阴影部分的面积为，则所求的概率，故选D．
69．（2013陕西理）如图，在矩形区域ABCD的A， C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为故所求概率为，故选A．
70．（2013安徽理）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率．
71．（2013新课标I理）从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】任取两个不同的数有共6种，2个数之差的绝对值为2的有，故．
72．（2013湖南理）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，
由勾股定理可得，解得，即，故选D．
73．（2012辽宁理）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32的概率为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图所示，令，
则，矩形面积设为，则，
解得，该矩形面积小于32的概率为，故选C．
74．（2012北京理）设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内的点的坐标为，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为．
75．（2011新课标理）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1，2，3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”共3个，因此．
76．（2020江苏4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷次，观向上的点数，则点数和为的概率是 ．
【答案】
【解析】总事件数为，点数和为含共个基本事件，故所求的概率为．
77．（2020天津13）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．故答案为：；．
78．（2019江苏理6）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
【答案】【解析】从3名男同学和2名女同学中任故选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数，
故选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数，
所以故选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
79．（2019全国I理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利
时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客
主”．设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则
甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】【解析】由题意可得，一共比赛了5场，且第5场甲获胜，前4场甲队胜3场，输1场，有2种情况：①甲队主场输1场，其概率为：；
②甲队客场输1场，其概率为：，由于第5场必定是甲队胜，所以，则甲队以4：1获胜的概率为0．18．
80．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
【答案】【解析】记2名男生分别为，，3名女生分别为，，，则从中任故选2名学生有，，，，，，，，，，共10种情况，其中恰好故选中2名女生有，，，共3种情况，故所求概率为．
81．（2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示）．
【答案】【解析】从5个砝码随机取3个共有种，总质量为9克共有9=5+3+1，9=5+2+2两种情况，所以三个砝码的总质量为9克的概率是．
82．（2017江苏理）记函数 的定义域为．在区间上随机取一个数，则 的概率是 ．
【答案】【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为
．
83．(2016年山东理)在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 ．
【答案】．【解析】圆的圆心为，半径，故由直线与圆相交可得，即，整理得，得．
84．（2015江苏理）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【答案】【解析】从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为．
85．（2014新课标理）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．
【答案】【解析】设2本数学书分别为A、B，语文书为G，则所有的排放顺序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC、BAC、CAB、CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率．
86．（2014重庆理）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）
【答案】【解析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第分钟，第分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为．小张比小王至少早5分钟到校表示的事件，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为．
87．（2014新课标II理）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．
【答案】【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中故选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们故选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．故所求概率为．
88．（2014浙江理）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是__________；
【答案】【解析】设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为，甲、乙两人各抽取一张的所有情况有共六种，其中两人都中奖的情况有共2种，所以概率为
89．(2013山东理)在区间[-3，3]上随机取一个数，使得成立的概率为____．
【答案】【解析】设，
则．由，解得，
即当时，．由几何概型公式得所求概率为．
90．（2013福建理）利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 ．
【答案】【解析】本题考查的是几何概型求概率．，即，所以．
91．（2013新课标理）从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______．
【答案】【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为．
92．（2013湖北理）在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 ．
【答案】3【解析】由几何概型，得，解得．
93．（2012江苏理）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
【答案】【解析】由题意得，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以．
94．（2012浙江理）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________．
【答案】【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，故选择点必含中心，概率为．
95．（2011湖南理）已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
（2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
【解析】（1）5 根据点到直线的距离公式得．
（2） 设直线到圆心的距离为3，则，取，则直线 把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率，由于圆的半径是，则可得直线截得的劣弧所对的圆心角为，故所求的概率是．
96．(2011江苏理)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
【答案】【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件为{1，2}，{2，4}共2个，所以概率为．
97．【2020全国Ⅰ文17）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表 乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【解析】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为．
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
∴甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为元，∴乙分厂加工件产品的平均利润为元每件，故厂家选择甲分厂承接加工任务．
98．（2020全国Ⅰ理19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）记事件甲连胜四场，则．
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为
，
∴，需要进行第五场比赛的概率为．
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：，，，，，，，，∴甲赢的概率为．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，∴丙赢的概率为．
99．（2019全国II理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
【解析】（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，
或者均由乙得分．因此P（X=2）=0．5×0．4+（1–0．5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0．5×（1–0．4）+（1–0．5）×0．4]×0．5×0．4=0．1．
100．（2013广东理）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．
【解析】（1）由题意知苹果的样本总数，苹果的重量在的频数为20，∴苹果的重量在的频率为．
（2）设从重量在的苹果中抽取个，则从重量在的苹果中抽取 个．∵从表格可知的频数分别为5，15．∴，解得．
（3）设这4个苹果中重量在的1个记为，重量在中的3个为，从中任取两个，可能的情况有：
（，）（，）（，）（，）（，）（，）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（，）（，）（，）共3种，所以．
101．（2016新课标Ⅰ理）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0．85a
a
1．25a
1．5a
1．75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0．30
0．15
0．20
0．20
0．10
0．05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
102．（2015安徽理）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）．
【解析】（1）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则．
（2）的可能取值为，，．
．
故的分布列为
．
103．（2014山东理）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【解析】(I)因为样本容量与总体中的个数的比是，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：，，，
所以A，B，C三个地区的商品被故选取的件数分别为1，3，2．
（II）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为，
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：，，
，，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：共4个，所有，即这2件商品来自相同地区的概率为．
104．（2014天津理）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果
（Ⅱ）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率．
【解析】（I）从6名同学中随机故选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
（II）故选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件发生的概率
105．（2013辽宁理）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
（I）所取的2道题都是甲类题的概率；
（II）所取的2道题不是同一类题的概率．
【解析】（I）将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以 =
（II）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以=．
106．（2013湖南理）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(Ⅰ)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点，内部共有3个格点．
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0，0，1，1，0，1，1，0，0，1，2，1对格点，共8对格点恰好“相近”．所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机故选取一株作物，它们恰好“相近”的概率．
（Ⅱ）三角形共有15个格点．与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4，0)，(0，4)．，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0，0)， (1，3)， (2，2)，(3，1)．，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1，0)， (2，0)， (3，0)，(0，1，) ，(0，2)，(0，3，)．，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1)， (1，2)， (2，1)．
如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
概率P
，．
107．（2012新课标理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；
当日需求量时，利润，∴关于的解析式为；
（Ⅱ）(i) 这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为=76．4；
(ii) 利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
108．（2012山东理）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为．
109．（2011陕西理）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
的频率
0．1
0．2
0．3
0．2
0．2
的频率
0
0．1
0．4
0．4
0．1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）表示事件“甲故选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙故选择路径时，50分钟内赶到火车站”，=1，2．用频率估计相应的概率可得
=0．1+0．2+0．3=0．6，=0．1+0．4=0．5，
＞，甲应故选择．
=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，=0．1+0．4+0．4=0．9，
＞，乙应故选择．
（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的故选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知，又由题意知，A，B独立，
的分布列为
0
1
2
0．04
0．42
0．54
110．（2011山东理）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
【解析】（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任故选1名的所有可能的结果为：（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种．
从中故选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
故选出的两名教师性别相同的概率为
（II）从甲校和乙校报名的教师中任故选2名的所有可能的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，从中故选出两名教师来自同一学校的结果有：（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，故选出的两名教师来自同一学校的概率为
考点111 离散型随机变量及其分布列、均值与方差、正态分布、二项分布
111．（2020新高考山东12）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的值为，且，，定义的信息熵，则 （ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，则
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确；对于B选项，若，则，，所以，
当时，，
当时，，两者相等，所以B选项错误．
对于C选项，若，则，
则随着的增大而增大，所以C选项正确；对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）．
．
．
由于，所以，所以，
所以，所以，所以D选项错误，故选：AC．
112．（2019浙江7）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
【解析】 ，
，
因为，所以先减小后增大，故选D．
113．（2018全国Ⅲ理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则=
A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3
【答案】B【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．
由，得，即，所以，所以．故选B．
114．（2018浙江理）设，随机变量的分布列是
0
1
2
则当在内增大时，
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】D【解析】由题可得，所以，所以当在内增大时，先增大后减小．故选D．
115．（2017浙江理）已知随机变量满足，，=1，2．
若，则
A．<，< B．<，>
C．>，< D．>，>
【答案】A【解析】由题意可得
0
1
0
1
由两点分布，；，，
∵，
∵，∴，，∴<，<，故选A．
116．（2014浙江理）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】解法一（特值法）取=3进行计算、比较即可．
解法二 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为，则的所有可能取值为0，1，则，，
所以，
所以；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为，则的所有可能的取值为0，1，2，则，， ，∴，∴，所以，，故选A．
117．（2020浙江16）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 ； ．
【答案】；
【解析】表示第一次拿到的是红球，设为事件A，或第一次是绿球，第二次是红球，设为事件B，则；
表示拿出红球时已经拿出了一个黄球，即第一次拿到黄球，第二次拿到红球，概率，或是前两次拿到的是一个黄球一个是绿球，，∴ ；
，表示拿到红球时已经拿出了两个黄球，即前两次黄球，第三次红球，，说是第四次拿到红球，，∴，
，故答案为：；．
118．（2017新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，Χ表示抽到的二等品件数，则= ．
【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．
119．（2016年四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 ．
【答案】【解析】实验成功的概率，故，所以．
120．（2014浙江理）随机变量的取值为0，1，2，若，，则__．
【答案】【解析】由题意设的分布列如下
0
1
2
由，可得，所以．
121．（2020江苏25）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【解析】（1），，
．
（2），
，
因此，从而，
即，．
122．（2019天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】（I）∵甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故，从面．
∴随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（II）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，
且．
由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（I）知：
．
123．（2019全国I理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】试题分析：
试题解析：（1）由题意可列分布列：
（2）
（ⅰ）由题意可得，，
此时的分布列为：
故，即
化简可得：即，
又
故数列为公比为4的等比数列。
（ⅱ）由等比数列求和公式可得：
即，
又，即。
此时说明，甲累计得4分，乙累计得0分，概率极小，符合甲乙两种药物都有效用的说法。
124．（2019北京理17）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两个支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．
(Ⅱ)由题意可知，仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，且X可能的取值为0，1，2，
，，，
X的分布列为：
X
0
1
2
其数学期望：．
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”．
125．（2018北京理）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0．4
0．2
0．15
0．25
0．2
0．1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25=50，故所求概率为．
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为=．
由题意知：估计为0．25，估计为0．2，故所求概率估计为0．25×0．8+0．75×0．2=0．35．
(3)>>=>>．
126．（2018全国Ⅰ理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为．因此
．
令，得．当时，；
当时，．
所以的最大值点为．
(2)由(1)知，．
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知，，即．
所以．
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于，故应该对余下的产品作检验．
127．（2018天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)（i）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
(=0，1，2，3)．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（ii）设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则，且与互斥，
由（i）知，，，故．
所以，事件发生的概率为．
128．（2017新课标Ⅲ理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶)为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知
，，
．
因此的分布列为
0．2
0．4
0．4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，
因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
129．（2017江苏理）已知一个口袋有个白球，个黑球（，，），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉（=1，2，3，…，）．
1
2
3
…
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明．
【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为： ．
(2)随机变量的概率分布为：
…
…
…
…
随机变量的期望为：．
所以
，．
130．（2017天津理）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【解析】（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
．
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
131．（2017山东理）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率．
（Ⅱ）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望．
【解析】（Ⅰ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则
(Ⅱ)由题意知可取的值为：．则
因此的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望是
==2．
132．（2017北京理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1．7的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）
【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为．
（Ⅱ）由图知，A，B，C，D四人中，指标的值大于1．7的有2人：A和C．
所以的所有可能取值为0，1，2．
．
所以的分布列为
0
1
2
故的期望．
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差．
133．（2016新课标Ⅰ理）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而
；；
；；
；；
．
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19．
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．
当时，．
当时，．
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
134．（2015福建理）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
（Ⅱ）依题意得，所有可能的取值是1，2，3
又．
所以的分布列为
1
2
3
所以．
135．（2015山东理）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量是取值为：0，-1，1，
因此，，，
所以的分布列为
0
-1
1
则 ．
136．（2015四川理）某市两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了3名男生，2名女生，中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设表示参赛的男生人数，求得分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从中抽取（等价于 中学没有学生入选代表队）的概率为．
因此，中学至少1名学生入选的概率为．
（2）根据题意，的可能取值为1，2，3．
，，，
所以的分布列为：
1
2
3
因此，的期望为，．
137．（2014新课标I理）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187．8，212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求．
附：≈12．2．若～，则=0．6826，=0．9544．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
=200
（II）（i）由（I）知，，从而
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．682 6，
依题意知X-B(100，0．682 6)，所以
138．（2014山东理）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分．对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为．假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．
【解析】（Ⅰ）记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”（）．
则，，；
记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”（）．
则，，；
记为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”
由题意，
由事件的独立性和互斥性，
=
==，
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为．
（Ⅱ）由题意，随机变量可能的取值为，
由事件的独立性和互斥性，得，
，，
，，
，
0
1
2
3
4
6
139．（2014辽宁理）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差．
【解析】（Ⅰ）用表示日销量，则
代表连续2日销量不低于100且一日销量低于50，
则，故所求时间的概率为．
（Ⅱ）可取0，1，2，3．由（Ⅰ）可知日销量不低于100的概率．
∴，，，
的分布列如下
X
0
1
2
3
P
0．064
0．288
0．432
0．216
∴，．
140．（2014广东理）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25，30 ] 3 0．12
(30，35 ] 5 0．20
(35，40 ] 8 0．32
(40，45 ]
(45，50 ]
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率．
【解析】（1），；
（2）样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0．2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为，则，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0．5904．
141．（2014安徽理）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．
【解析】用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， 表示“第局甲获胜”， 表示“第局乙获胜”，则
（Ⅰ）
（Ⅱ）的可能取值为2，3，4，5
故的分布列为
2
3
4
5
∴．
142．（2013新课标I理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【解析】解法一（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件．第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品为事件，这批产品通过检验为事件题意有A=，且与互斥，所以
．
（2）X的可能取值为400、500、800；
，，，则X的分布列为
X
400
500
800
P
解法二 （1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD)，且AB与CD互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=．
（2）X的可能取值为400，500，800，并且
P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
EX=400×+500×+800×=506．25．
143．（2013北京理）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望．
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
【解析】设表示事件“此人于3月日到达该市”
根据题意，，
（Ⅰ）设为事件“此人达到当日空气重度污染”，则．
所以．
（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为，且
所以的分布列为
0
1
2
故的期望．
（Ⅲ）从3月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
144．（2012新课标理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【解析】（1）当时，
当时，
得：
（2）（i）可取，，
的分布列为
，．
（ii）购进17枝时，当天的利润为
， 得：应购进17枝．
145．（2012山东理）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是，每命中一次得分，没命中得分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分的分布列及数学期望．
【解析】（Ⅰ）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B， “该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意可知，，由于
=；
（Ⅱ）
，
X
0
1
2
3
4
5
P
EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=．
146．（2012福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间(年)
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1．8
2．9
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
【解析】（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则．
（II）依题意，的分布列分别如下：
1
2
3
1．8
2．9
（III）由（II）得（万元 ），（万元 ），∵，∴应生产甲品牌轿车．
147．（2011北京理）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．（注：方差，其中为，，…… 的平均数）
【解析】（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19．
148．（2011江西理）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．
【解析】（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，
即
X
0
1
2
3
4
P
（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500，则
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
149．（2015湖北理）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误．又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误．对任意正数，，，C正确，D错误．
150．（2015山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4．56% B．13．59% C．27．18% D．31．74%
【答案】B【解析】．
151．（2014新课标II理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45
【答案】A【解析】根据条件概率公式，可得所求概率为．
152．（2011湖北理）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线对称，所以，并且，则，所以故选C．
x
y
O
4
2
153．（2017新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，Χ表示抽到的二等品件数，则= ．
【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得
154．（2016四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 ．
【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中
在1次试验中成功的概率为，所以在2次试验中成功次数的概率为，，．
解法2由题意知，实验成功的概率，故，所以．
155．（2015广东理）已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
【答案】【解析】由，得．
156．（2012新课标理）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
【答案】【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．
157．（2017新课标Ⅰ理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ−3σ，μ+3σ)之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．因此
．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，，得的估计值为，的估计值为
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10．02．
，剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为．
158．（2016新课标Ⅱ理）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0．85a
a
1．25a
1．5a
1．75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0．30
0．15
0．20
0．20
0．10
0．05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
159．（2015湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，
=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，=｛顾客抽奖1次能获奖｝．
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，
且=，=+，C=+．
因()==，()==，
所以()=()=()()==，
()=(+)=()+()
=() (1-())+(1-())()=(1-)+(1-)=，
故所求概率为(C)= (+)=()+()=+=．
（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以．于是 (=0)==，
(=1)==，
(=2)==，(=3)== ．
故的分布列为
0
1
2
3
的数学期望为 ()=3=．
160．（2015湖北理）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0．3
0．5
0．2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【解析】（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有
（1）目标函数为．
第10题解答图1
第10题解答图2
第10题解答图3
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为
8160
10200
10800
0．3
0．5
0．2
因此，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为．
161．（2015新课标Ⅱ理）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”，则与独立，与独立，与互斥，．
．
由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．
故，，，，故．
162．（2014山东理）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设各局比赛结果互相独立．
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分的分布列及数学期望．
【解析】：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，
故，，
所以，甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率分别是，，；
（2）设“乙队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以，
由题意，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，，根据事件的互斥性得
，，
，，
故的分布列为
0
1
2
3
所以．
163．（2014陕西理）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（Ⅰ）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
【解析】（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元／kg”．由题设知，．
因为利润=产量市场价格成本，所以所有可能的取值为
，，，，，
，
，
所以的分布列为
4000
2000
800
0．3
0．5
0．2
（Ⅱ）设表示事件“第季利润不少于2000元”，
由题意知相互独立，由（1）知，
3季利润均不少于2000元的概率为，
3季中有2季利润不少于2000元的概率为，
所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为．
164．（2014广东理）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30 ]
3
0．12
(30，35 ]
5
0．20
(35，40 ]
8
0．32
(40，45 ]
(45，50 ]
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率．
【解析】：（1），．
（2）样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0．2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为，则，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0．5904．
165．（2011大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3，设各车主购买保险相互独立．
(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求的期望．
【解析】记表示事件： 该地的1位车主购买甲种保险；
表示事件： 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
表示事件： 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；
表示事件： 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
（Ⅰ）， ， ，．
（Ⅱ），，，即服从二项分布，所以期望．
考点112 独立性检验
166．（2020全国Ⅲ文理18）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理
数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
人次
空气质量好
空气质量不好
附：
【解析】（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1的概率为；该市一天的空气质量等级为2的概率为；该市一天的空气质量等级为3的概率为；该市一天的空气质量等级为4的概率为．
（2）由题意，计算得．
（3）列联表如下：
人次≤400
人次＞400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100
由表中数据可得：，∴有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
167．（2020新高考山东海南19）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有．
【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关．
168．（2018全国Ⅲ理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
(2)由茎叶图知．
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
169．（2017课标II理18）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量50kg
箱产量50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0．01)
附：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知．
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
故的估计值为．
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为，故的估计值为．因此，事件的概率估计值为．
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg
箱产量50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
，由于，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
，箱产量低于55kg的直方图面积为
，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为．
170．（2014新课标I理）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
（I）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【解析】（I）
（II）质量指标值的样本平均数为80×0．06+90×0．26+100×0．38+110×0．22+120×0．08 =100．
质量指标值的样本方差为=104．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38+0．22+0．08=0．68．
由于该估计值小于0．8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
171．（2012辽宁理）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（I）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（II）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
0．05
0．01
3．841
6．635
附： ，
【解析】(I)由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
由2×2列联表中数据代入公式计算，得：
因为3．030<3．841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（II）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间
其中表示男性，．表示女性，．由10个基本事件组成，而且这些事件的出现时等可能的．用A表示“任故选2人中至少有1名是女性”这一事件，则，∴．
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