全国统考2022高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明学案理含解析打包5套北师大版 学案

第七章　不等式、推理与证明

7.1　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

必备知识预案自诊　

知识梳理

1.二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的　　　　　　.我们把直线画成虚线以表示区域　　　　　边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应　　　　　　边界直线,则把边界直线画成　　　　　　. 

(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都　　　　　,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的　　　　　　即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. 

(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划的相关概念

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. (　　)

(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.              (　　)

(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. (　　)

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. (　　)

(5)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. (　　)

2.不等式组表示的平面区域是(　　)

3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是(　　)

A.1 B. C.2 D.2

4.(2020福建漳州二模,文14)若实数x,y满足的最大值是　　　　　. 

5.(2020全国2,文15)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是　　　　　. 

关键能力学案突破　

【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组表示的平面区域的面积为　　　　　. 

(2)已知实数x,y满足若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为　　　　　. 

思考确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?

解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.

(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.

2.求平面区域的面积的方法

(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;

(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.

(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.

对点训练1(1)已知不等式组表示的可行域为D,则可行域D的面积为(　　)

A.2 B.2 C. D.

(2)设命题p:实数x,y满足命题q:实数x,y满足(x+1)2+y2≤m,若p是q的必要不充分条件,则正实数m的取值范围是　　　　. 

考向1　求线性目标函数的最值

【例2】(1)(2020全国1,理13)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为　　　　　. 

(2)(2020福建福州模拟,理13)设x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为　　　　　. 

思考求线性目标函数的最值的注意事项是什么?

考向2　求非线性目标函数的最值

【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x,y满足则k=的取值范围是(　　)

A.(-∞,-5]∪,+∞ 

B.-5,

C.(-∞,-5)∪,+∞ 

D.-5,

(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x,y满足则x2+y2的最大值与最小值之和为　　　　　. 

思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?

考向3　求参数值或取值范围

【例4】(1)设x,y满足不等式组若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为(　　)

A.[-1,2] B.[-2,1] 

C.[-3,-2] D.[-3,1]

(2)(2020江西南昌十中月考)若实数x,y满足不等式组若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a的值是(　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

思考如何利用可行域及最优解求参数及其取值范围?

考向4　最优解不唯一的条件下求参数的值

【例5】已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为　　　　　. 

思考最优解有无数多个时,目标函数有什么特点?

解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.

2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.

3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.

对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为              (　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x,y满足约束条件则z=2-y的最小值是(　　)

A.- B.5 C.-1 D.-2

(3)(2020江西高三月考,文7)已知表示的平面区域为D,若“存在(x,y),2x+y>a”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.[5,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞)

(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足则函数z=4x·的最小值为　　　　　. 

【例6】某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.

(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?

(2)怎样安排生产可使所得利润最大?

思考利用线性规划解决实际应用问题的步骤是什么?其注意事项是什么?

解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤

(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;

(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量;

(3)根据问题的特点,写出约束条件;

(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.

对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为(　　)

A.4万元 B.5.5万元

C.6.5万元 D.10万元

第七章　不等式、推理与证明

7.1　二元一次不等式(组)与

简单的线性规划问题

必备知识·预案自诊

知识梳理

1.(1)平面区域　不包括　包括　实线

(2)相同　符号

2.线性约束条件　可行解　最大值　最小值

最大值　最小值

考点自诊

1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

2.C　

3.B　作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min=.

4.　作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,

设=kOP,P为可行域上一点,其中O(0,0),P(x,y),由得A,

所以由图可知,当P位于A时,=kOA=.

5.8　作出可行域如图所示(阴影部分).

因为z=x+2y,所以y=-x+.

作出直线y=-x,平移直线可知,当直线过点A时,最大,即z最大.

由解得

故A(2,3).所以zmax=2+2×3=8.

关键能力·学案突破

例1(1)3　(2)(2,+∞)　(1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,

平面区域为△ABC及其内部,其中A(2,0),B(0,2),C(2,3),

所以所求面积为×2×|AC|=3.

(2)如图所示,所表示的平面区域为图中的阴影部分,

易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A(1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A位于直线x+y=m下方,据此有1+1<m,即m的取值范围为(2,+∞).

对点训练1(1)C　(2)0,　(1)作出不等式组对应的可行域如图,

由得A(0,0),由得C(,1),由得B(0,2),则区域D的面积S=×2×.故选C.

(2)根据题意,m为正实数,所以满足q的点(x,y)在以(-1,0)为圆心,以为半径的圆周及其内部,记作Q,

满足条件p的点构成的集合记作P,

因为p是q的必要不充分条件,所以Q⫋P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B,

直线x=-2和直线y-x=0的交点为C,

则点(-1,0)到直线AC的距离d1=1,

点(-1,0)到直线BC的距离d2=,

点(-1,0)到直线AB的距离d3=,

所以点(-1,0)到三角形ABC边界的最小距离为.所以,

即m∈0,.

例2(1)1　(2)-7　(1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y变形可得y=-x+z,平移直线y=-x.

由图可得直线经过点A处时,z取得最大值.

由

所以A(1,0),所以zmax=1+7×0=1.

(2)在坐标系中画出x,y满足约束条件的可行域,如图所示,

由z=x-3y可得y=x-z,则-z表示直线z=x-3y在y轴上的截距,截距越大,z越小,平移直线x-3y=0,经过点A时,z最小,

由可得A(2,3),此时zmin=2-3×3=-7.

例3(1)A　(2)　(1)作不等式组表示的可行域,如图所示.

由于k=表示动点M(x,y)与定点P(3,-1)连线的斜率.

又kPA==-5,且直线x-2y+4=0的斜率为.

所以k的取值范围为(-∞,-5]∪,+∞.

(2)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,x2+y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O到直线x+y-1=0的距离最小,为.

可行域内的点B与坐标原点的距离最大,为.

所以x2+y2的最大值与最小值之和为5+.

例4(1)B　(2)A　(1)由z=ax+y得y=-ax+z,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A(1,1),B(2,4).

由题意和图可知,直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,过点A时,取得最小值为a+1,

若a=0,则y=z,此时满足条件,

若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a≥kBC=-1,即0<a≤1,

若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a≤kAC=2,即-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].

(2)画出满足条件的可行域,如下图所示,根据图像可得a>0,目标函数化为y=x-,当目标函数过A(a,-a+1)时,z取得最大值,所以a2+2a-2=13,a2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.

例5-1或2　作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.

对点训练2(1)C　(2)C　(3)A　(4)

(1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,

由z=3x+2y,得y=-x+,根据图像可知,当过M点时,z取最大值,

联立解得x=2,y=0,所以M(2,0),则z的最大值为6.故选C.

(2)作不等式组表示的可行域如图,

由z=2|x|-y可得y=2|x|-z,作y=2|x|图像,由图像可知,当向上平移y=2|x|过点A时,-z最大,即z最小,令x=0,由y=x+1可得A(0,1),所以zmin=2×0-1=-1,故选C.

(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,

令Z=2x+y,得y=-2x+Z,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程得点A,所以Z=2x+y的最大值为5,

因为“存在(x,y)∈R,2x+y>a”为假命题,所以“任意(x,y),2x+y≤a”为真命题,所以实数a的取值范围是[5,+∞),故选A.

(4)作出不等式组所表示的可行域如下,

因为z=4x·=22x-3y,令t=2x-3y,则y=x-,

当直线y=x-过点M时,在y轴截距最大,此时t取最小值,则z=2t最小.

由得M(1,2),所以tmin=2-3×2=-4,则zmin=.

例6解由题意可画表格如下

(1)设只生产书桌x个,可获得利润z元,

则解得则x≤300.

因为z=80x,

所以当x=300时,zmax=80×300=24000(元),

即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元.

(2)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元.

由题可得

z=80x+120y.

在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.

作直线l0:80x+120y=0,即直线l0:2x+3y=0.

把直线l0向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M(100,400),

此时z=80x+120y取得最大值.

所以当x=100,y=400时,zmax=80×100+120×400=56000(元),

即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.

对点训练3B　设冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,总利润z万元,

则目标函数z=(0.5x×10000-2000x)+(1.4y×5000-3000y)

=3000x+4000y=1000(3x+4y),

由题可得

即作出可行域如图,由可得即A(5,10),

平移直线l0:3x+4y=0,可知直线l0经过点A(5,10)时,

即x=5,y=10时,z取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.