【最新 北师大版】高考数学一轮复习 高考大题专项五 突破2圆锥曲线中的定点定值问题学案（含解析）

www.ks5u.com突破2　圆锥曲线中的定点、定值问题

题型一　圆锥曲线中的定点问题(多维探究)

突破策略一　直接法

【例1】(2020全国1,理20)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

解题心得圆锥曲线中定点问题的常见解法

(1)要证明直线或曲线过定点,可以根据已知条件直接求直线或曲线的方程,方程一旦求出,即能找到直线或曲线过的定点,也就证明了过定点.

(2)对于是否直线或曲线过定点问题,一般先假设过定点,并假设出定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点,否则说明假设不成立.

(3)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

对点训练1(2020新高考全国1,22)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

突破策略二　逆推法

【例2】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.

(1)求点P的轨迹方程.

(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F.

解题心得由特殊到一般法求定点问题的方法:

由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.

对点训练2已知抛物线C的方程y2=2px(p>0),焦点为F,点P在抛物线C上,且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1.

(1)试求出抛物线C的方程.

(2)若抛物线C上存在两动点M,N(M,N在对称轴两侧),满足OM⊥ON(O为坐标原点),过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若AB∥MN,则线段MN上是否存在定点E,使得=4恒成立?若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.

题型二　圆锥曲线中的定值问题

突破策略　直接法

【例3】(2020山东滨州二模,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点(,1),离心率为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积为定值.

解题心得证明某一量为定值,一般方法是用一个参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值.

对点训练3(2020山东泰安三模,21)已知椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线AB的距离为,△OAB的面积为1.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.

突破2　圆锥曲线中的定点、定值问题

例1(1)解由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).

则=(a,1),=(a,-1).

由=8得a2-1=8,即a=3.

所以E的方程为+y2=1.

(2)证明设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).

若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.

由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).

直线PB的方程为y=(x-3),

所以y2=(x2-3).

可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

由于=1,

故=-,

可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),

即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.①

将x=my+n代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-,y1y2=.

代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2·(m2+9)=0.

解得n=-3(舍去),n=.

故直线CD的方程为x=my+,

即直线CD过定点.

若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点.

综上,直线CD过定点.

对点训练1解(1)由题设得=1,,

解得a2=6,b2=3,所以C的方程为=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).

若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.

于是x1+x2=-,x1x2=.①

由AM⊥AN知=0,

故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,

可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.

整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.

因为A(2,1)不在直线MN上,

所以2k+m-1≠0,

故2k+3m+1=0,k≠1.

于是MN的方程为y=k(k≠1).

所以直线MN过点P.

若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).

由=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.

又=1,可得3-8x1+4=0.

解得x1=2(舍去),x1=.

此时直线MN过点P.

令Q为AP的中点,即Q.

若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,

故|DQ|=|AP|=.

若D与P重合,则|DQ|=|AP|.

综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.

例2(1)解设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足.可得(x-x0,y)=(0,y0),可得x-x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,代入椭圆方程+y2=1,可得=1,即有点P的轨迹方程为x2+y2=2.

(2)证明(方法1)设Q(-3,m),P(cosα,sinα)(0≤α<2π),

由=1,可得(cosα,sinα)·(-3-cosα,m-sinα)=1,即为-3cosα-2cos2α+msinα-2sin2α=1,

当α=0时,上式不成立,则0<α<2π,

解得m=,

所以Q,

椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),

由=(-1-cosα,-sinα)·

=3+3cosα-3(1+cosα)=0.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,可得过点P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F.

(方法2)设Q(-3,t),P(m,n),由=1,可得(m,n)·(-3-m,t-n)=-3m-m2+nt-n2=1,又P在圆x2+y2=2上,可得m2+n2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(-1,0),=(-1-m,-n)·(-3,t)=3+3m-nt=3+3m-3-3m=0,

则,又过点P存在唯一直线垂直于OQ,可得过点P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F.

对点训练2解(1)由点P到点F的距离比它到y轴的距离大1和抛物线定义,知=1,所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)存在.由题意,kMN≠0,

设M,N(y2>y1),由OM⊥ON,得y1y2=-16,直线MN的斜率k=,直线MN:y-y1=x-,整理可得y=(x-4),

①若直线AB斜率存在,设斜率为k,y=k(x-1),与y2=4x联立得ky2-4y-4k=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|yA-yB|=41+,若点E存在,设点E坐标为(x0,y0),

|EM|·|EN|=(y0-y1)(y2-y0)=·[-y1y2-+(y1+y2)y0]=1+16-,

当=4时,16-=16,解得y0=0或y0=(不是定点,舍去),则点E为(4,0),经检验,此点满足y2<4x,所以在线段MN上.

②若直线AB斜率不存在,则|AB|=4,|EM|·|EN|=4×4=16,此时点E(4,0)满足题意.综合上述,定点E为(4,0).

例3(1)解椭圆C过点(,1),代入椭圆方程可得=1.①

又因为离心率为,所以,从而a2=2b2.②

联立①②,解得a2=4,b2=2.

所以椭圆方程为=1.

(2)证明把y=kx+t代入椭圆方程=1,

得(2k2+1)x2+4ktx+2(t2-2)=0,

所以Δ=(4kt)2-8(2k2+1)(t2-2)=8[2(2k2+1)-t2]>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.

所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=.

因为四边形OAPB是平行四边形,

所以=(x1+x2,y1+y2)=,所以点P坐标为.

又因为点P在椭圆上,

所以=1,

即t2=.因为|AB|=|x1-x2|=,

又点O到直线l的距离d=.

所以平行四边形OAPB的面积S▱OAPB=2S△OAB=|AB|·d=,即平行四边形OAPB的面积为定值.

对点训练3解(1)直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,

则.

因为三角形OAB的面积为1,所以ab=1,即ab=2,解得a=2,b=1,

所以椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)直线AB的斜率为-,设直线l的方程为y=-x+t,C(x1,y1),D(x2,y2),

代入+y2=1,得2y2-2ty+t2-1=0,则y1+y2=t,y1y2=,

所以k1k2=,

所以x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]=4[(y1+y2)2-(y1+y2)(y1+y2)+y1y2-(y1+y2)+y2]=4(y1y2-y1),

所以k1·k2=为定值.