高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步测试题

教材习题点拨

练习

1．解：p·q＝|p||q|cos 60°

＝8×6×＝24.

2．解：与的夹角为∠A.

当a·b<0时，cos A<0，

所以∠A为钝角，△ABC是钝角三角形；

当a·b＝0时，∠A＝90°，△ABC为直角三角形．

3．解：

|a|cos 45°＝3 |a|cos 90°＝0 |a|cos 135°＝－3

练习

1．解：|a|＝＝＝5，

|b|＝＝，

a·b＝－3×5＋4×2＝－7.

2．解：a·b＝2×(－2)＋3×4＝8，

(a＋b)·(a－b)＝a2－b2

＝22＋32－[(－2)2＋42]＝－7，

a·(b＋c)＝(2，3)·(－3，2)

＝2×(－3)＋3×2＝0，

(a＋b)2＝[2＋(－2)]2＋(3＋4)2＝49.

3．解：a·b＝3×5＋2×(－7)＝1.

∴cos θ＝

＝

＝≈0.032 2.

由计算器计算得θ≈88°.

习题2.4

A组

1．解：a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 150°＝3×4×＝－6.

(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2

＝|a|2＋2|a||b|cos 150°＋|b|2

＝16＋9－12＝25－12.

|a＋b|＝＝

＝.

2．解：如图，·＝||||cos C

＝8×5×cos 60°＝20.

(第2题图)

而·＝－·＝－20.

3．解：|a＋b|＝，|a－b|＝.

4．解：设a与b的夹角为θ.

(1)当λ＝0时，等式显然成立．

(2)当λ>0时，∵λa与b，a与λb的夹角都为θ，

∴(λa)·b＝|λa||b|cos θ

＝λ|a||b|cos θ，λ(a·b)

＝λ|a||b|cos θ，

a·(λb)＝|a||λb|cos θ＝λ|a||b|cos θ.

∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)当λ<0时，∵λa与b，a与λb的夹角都为180°－θ，

∴(λa)·b＝|λa||b|cos(180°－θ)

＝－|λ||a||b|cos θ，

λ(a·b)＝λ|a||b|cos θ

＝－|λ||a||b|cos θ，

a·(λb)＝|a||λb|cos(180°－θ)

＝－|λ||a||b|cos θ，

∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

5．解：(1)由＝(5，2)－(－1，－4)＝(6，6)，＝(3，4)－(5，2)＝(－2，2)，

·＝6×(－2)＋6×2＝0，

所以⊥.

所以△ABC是直角三角形．

(2)由＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，·＝21×1＋7×(－3)＝0，

所以⊥，△ABC是直角三角形．

(3)由＝(5，2)－(2，5)＝(3，－3)，＝(10，7)－(5，2)＝(5，5)，

·＝3×5＋(－3)×5＝0，

所以⊥，△ABC是直角三角形．

6．解：cos θ＝＝＝，

所以θ＝π.

7．解：因为(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61，所以a·b＝－6.

所以cos θ＝＝－.

所以θ＝π.

8．解：因为|a＋b|＝16，

所以a2＋2a·b＋b2＝162.

所以a·b＝＝46.

所以cos θ＝＝＝.

所以θ≈55°.

9．证明：由＝(5，－2)－(1，0)＝(4，－2)，＝(8，4)－(4，6)＝(4，－2)，

∴＝.①

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵＝(8，4)－(5，－2)＝(3，6)，

·＝4×3＋(－2)×6＝0，

∴⊥.②

由①②可知，四边形ABCD是矩形．

10．解：a＝

或a＝.

11．解：或.

B组

1．证明：(1)a·b＝a·c⇒a·b－a·c＝0⇒a·(b－c)＝0⇒a⊥(b－c)．

(2)a⊥(b－c)⇒a·(b－c)＝0⇒a·b－a·c＝0⇒a·b＝a·c.

∴a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．

2．解：如图所示，

(第2题图)

∠AOB可看作向量与的夹角，常采用向量的数量积来求．

由·＝||||cos ∠AOB，

||＝||＝1，

∴cos ∠AOB＝

＝cos αcos β＋sin αsin β，

即cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β.

3．证法一：利用作差法．

由(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2

＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2

＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，

∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

证法二：利用向量法证明，分别把(a，b)与(c，d)看作两向量的坐标．

设＝(a，b)，＝(c，d)，与的夹角为θ，

则·＝ac＋bd.

又由数量积的定义·＝||||cos θ，即ac＋bd＝cos θ，

两边平方，得

(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ.

∵|cos2θ|≤1，

∴(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ

≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

4．解：·的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关．

证明：如图，取AB的中点D，连接CD，

(第4题图)

则CD⊥AB，＝.

又因为·＝||||cos θ，

而cos ∠BAC＝，

所以·＝||||

＝||2.

5．解：利用平面向量的数量积证明菱形的对角线互相垂直．

证明：如图，菱形ABCD中，AB＝AD.

(第5题图)

由于＝＋，＝－，

可得·＝(＋)·(－)

＝2－2＝||2－||2＝0.

所以⊥，即菱形的两条对角线互相垂直．

其余略．