高中人教版新课标A3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步测试题

这是一份高中人教版新课标A3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步测试题，共14页。试卷主要包含了证明等内容，欢迎下载使用。

教材习题点拨
练习
1．证明：(1)cos＝coscos α＋sinsin α＝0×cos α＋1×sin α＝sin α.
(2)cos(2π－α)＝cos 2πcos α＋sin 2πsin α＝1×cos α＋0×sin α＝cos α.
2．解：∵cos α＝－，α∈，
∴sin α＝＝.
∴cos＝coscos α＋sinsin α
＝×＋×＝.
3．解：∵sin θ＝，θ是第二象限角，
∴cos θ＝－＝－.
∴cos
＝cos θcos＋sin θsin
＝×＋×
＝.
4．解：∵sin α＝－，α∈，
∴cos α＝
＝－＝－.
又∵cos β＝，β∈，
∴sin β＝－
＝－＝－.
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝×＋×
＝.
练习
1．解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°
＝；
(2)cos 75°＝cos (45°＋30°)
＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝；
(3)sin 75°＝sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝；
(4)tan 15°＝tan (45°－30°)
＝＝2－.
2．解：∵cos θ＝－，θ∈，
∴sin θ＝
＝＝；
所以sin
＝sin θcos＋cos θsin
＝×＋×＝.
3．解：因为sin θ＝－，θ是第三象限角，
所以cos θ＝－
＝－＝－，
所以cos
＝coscos θ－sinsin θ
＝×－×
＝.
4．解：tan＝
＝＝－2.
5．解：(1)原式＝sin (72°＋18°)＝sin 90°＝1；
(2)原式＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝；
(3)原式＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1；
(4)原式＝sin (14°－74°)＝sin (－60°)
＝－sin 60°＝－；
(5)原式＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)
＝－cos (34°＋26°)
＝－cos 60°＝－；
(6)原式＝－sin 20°cos 70°－cos 20°sin 70°
＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)
＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1.
6．解：(1)原式＝coscos x－sinsin x＝cos；
(2)原式＝2
＝2
＝2sin；
(3)原式＝2
＝2
＝2sin；
(4)原式＝2
＝2
＝2cos.
7．解：由已知，
得sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝.
所以sin(α－β－α)＝.
所以sin(－β)＝.
所以sin β＝－.
又因为β是第三象限角，
所以cos β＝－
＝－＝－.
所以sin
＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝.
练习
1．解：∵cos＝－，8π<α<12π，
∴π<<π
∴sin＝－
＝－＝－.
∴sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
tan＝＝.
2．解：由sin(α－π)＝，
得sin α＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝.
3．解：由sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
又∵α∈，
∴sin α≠0，从而有cos α＝－.
∴sin α＝，tan α＝－.
4．解：由tan 2α＝＝，
∴tan2α＋6tan α－1＝0.
∴tan α＝－3±.
5．解：(1)原式＝×2sin 15°cos 15°
＝sin 30°＝；
(2)原式＝cos＝；
(3)原式＝×
＝tan 45°＝；
(4)原式＝cos 45°＝.
习题3.1
A组
1．解：(1)∵cos
＝coscos α＋sinsin α＝－sin α，
∴cos＝－sin α.
(2)∵sin
＝sincos α－cossin α＝－cos α，
∴sin＝－cos α.
(3)∵cos(π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α
＝－cos α，
∴cos(π－α)＝－cos α.
(4)∵sin(π－α)＝sin πcos α－cos πsin α
＝sin α，
∴sin(π－α)＝sin α.
2．解：∵cos α＝，且0<α<π，
∴sin α＝＝.
∴cos＝cos αcos＋sin αsin
＝.
3．解：∵sin α＝，
cos β＝－，α∈，β∈，
∴cos α＝－，sin β＝－.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×＋×
＝.
4．解：∵α，β都是锐角，
∴0<α＋β<π.
又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
5．解：∵60°<α<150°，
∴90°<α＋30°<180°.
又∵sin(α＋30°)＝，
∴cos(α＋30°)＝－.
于是cos α＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30°
＝.
6．解：(1)sin＝－sinπ
＝－sin
＝－sincos－cossin
＝－×－×＝－；
(2)cos＝cos
＝cos＝cos
＝－cos＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－；
(3)tan＝tan
＝tan＝－tan
＝－tan
＝＝
＝－2.
7．解：∵sin α＝且α∈，
∴cos α＝－
＝－＝－.
又∵cos β＝－，β是第三象限角，
∴sin β＝－
＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－×－×
＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×
＝－.
8．解：因为cos B＝，所以sin B＝＝＝且B为锐角，B∈(45°，90°)．
∵sin A＝<，
∴0 ∴0 ∴cos A＝＝.
∵A＋B＋C＝180°，
∴C＝180°－(A＋B)
∴cos C＝cos[180°－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－.
9．解：∵θ∈且sin θ＝，
∴cos θ＝－，tan θ＝－.
又∵tan φ＝，
∴tan(θ＋φ)＝＝－，
tan(θ－φ)＝＝－2.
10．解：由已知，得tan α＋tan β＝－，
tan α＋tan β＝－.
所以tan(α＋β)＝
＝＝－.
11．解：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝
＝＝－；
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝
＝＝－.
12．解：由题设有BD∶AD＝，
DC∶AD＝.
设∠BAD＝α，∠DAC＝β，
则tan α＝＝，tan β＝＝.
所以tan ∠BAC＝tan(α＋β)＝1.
又0°<∠BAC<180°，
因此∠BAC＝45°.
13．解：(1)原式
＝6
＝6
＝6sin ；
(2)原式＝
＝
＝sin；
(3)原式＝2
＝2
＝2sin；
(4)原式＝

＝
＝sin
＝sin；
(5)原式＝sin (360°－13°)cos (180°－32°)＋sin (90°－13°)cos (90°－32°)
＝－sin 13°(－cos 32°)＋cos 13°sin 32°
＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°
＝sin (13°＋32°)＝sin 45°＝；
(6)原式＝sin (180°－16°)sin (180°＋44°)＋sin (180°＋74°)sin (360°－46°)＝sin 16°(－sin 44°)＋(－sin 74°)(－sin 46°)＝－sin 16°sin 44°＋sin (90°－16°)sin (90°－44°)＝－sin 16°sin 44°＋cos 16°cos 44°＝cos (44°＋16°)＝cos 60°＝；
(7)原式＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin(α＋β－β＋γ)＝sin(α＋γ)；
(8)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(β－γ)
＝－cos(α－β＋β－γ)＝－cos(α－γ)；
(9)原式＝
＝
＝tan＝tanπ＝－；
(10)
原式＝
＝
＝＝tan(β－α)．
14．解：因为sin α＝0.80，α∈，
所以cos α＝＝0.60.
所以sin 2α＝2sin αcos α
＝2×0.80×0.60＝0.96，
cos 2α＝1－2sin2α
＝1－2×0.802＝－0.28.
15．解：因为cos φ＝－，180°<φ<270°，
所以sin φ＝－
＝－＝－.
所以sin 2φ＝2sin φcos φ
＝2××＝，
cos 2φ＝2cos2φ－1＝2×－1
＝－，
tan 2φ＝＝－2.
16．解：设底角为α，顶角为β，
则2α＋β＝π，且sin α＝.
∵α为等腰三角形的底角，
∴0<α<.
∴cos α＝.
∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α
＝2sin αcos α＝.
cos β＝cos(π－2α)＝－cos 2α
＝－1＋2sin2α
＝－.
tan β＝＝－.
17．解：∵tan α＝，tan β＝，
∴tan 2β＝＝.
∴tan(α＋2β)＝
＝＝1.
18．解：∵cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝cos[(α＋β)－β]＝cos α＝，
又∵α∈，
∴sin α＝－.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝－.
∴cos
＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝＝.
19．解：(1)原式＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α；
(2)原式＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)
＝cos 2θ；
(3)原式＝sin 2xcos 2x＝sin 4x；
(4)原式＝
＝＝tan 2θ.
B组
1．证明：(1)左边＝sin(2α＋α)
＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α
＝2sin α(1－sin2α)＋sin α－2sin3α
＝2sin α－2sin3α＋sin α－2sin3α
＝3sin α－4sin3α＝右边，
所以sin 3α＝3sin α－4sin3α.
(2)左边＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α
＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α
＝2cos3α－cos α－2(1－cos2α)cos α
＝4cos3α－3cos α＝右边，
所以cos 3α＝4cos3α－3cos α.
2．解：由已知tan A＋tan B＝－p，
tan Atan B＝p＋1，
又∵C＝180°－(A＋B)，
∴tan C＝tan[180°－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝－
＝－＝－1.
又∵∠C为三角形内角，
∴∠C＝π.
3．解：反映一般规律的等式：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.
证明如下：左边＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin2α＋cos(30°＋α)[cos(30°＋α)＋sin α]
＝sin2α＋·

＝sin2α＋·

＝sin2α＋cos2α－sin2α
＝(sin2α＋cos2α)
＝＝右边，
故sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.
4．解：由题图知，∠P1OP2＝α＋β，
·＝1×1×cos ∠P1OP2＝cos(α＋β)．
又因为·＝(cos α，sin α)·(cos β，－sin β)＝cos αcos β－sin αsin β，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.