高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换巩固练习

教材习题点拨

练习

1．证明：tan＝＝

＝，

tan＝＝

＝.

2．证明：(1)∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

∴sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β.

两边同除以2，

得cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

(2)(3)同理可得．

3．证明：(1)在cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]中，

令α＋β＝θ，α－β＝φ，

从而α＝，β＝.

将上述值代入公式，

即有cossin＝

＝(sin θ－sin φ)，

∴sin θ－sin φ＝2cossin.

(2)(3)同理可得．

4．解：(1)最小正周期是，单调递增区间是，k∈Z，最大值是；

(2)最小正周期是2π，单调递增区间是[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z，最大值是3；

(3)最小正周期是，单调递增区间是，k∈Z，最大值是2.

习题3.2

A组

1．证明：(1)∵左边＝sin22α－2sin 2αcos 2α＋cos22α＝1－2sin 2αcos 2α＝1－sin 4α＝右边，

∴原题得证．

(2)∵左边＝－

＝

＝

＝－＝右边，

∴原题得证．

(3)∵左边

＝tan

＝tan x

＝tan x[1－(－1)]

＝2tan x＝右边，

∴原题得证．

(4)∵左边＝

＝sin φ＋cos φ＝右边，

∴原题得证．

(5)∵左边

＝

＝

＝

＝＝右边，

∴原题得证．

(6)∵左边＝2cos2θ＋2sin2θ＝2＝右边，

∴原题得证．

(7)∵左边＝＝tan2θ＝右边，

∴原题得证．

(8)∵左边＝

＝

＝＝

＝tan θ＝右边，

∴原题得证．

2．证明：(1)由sin(α＋β)＝，

得sin αcos β＋cos αsin β＝.①

又由sin(α－β)＝，

得sin αcos β－cos αsin β＝.②

由①＋②，得2sin αcos β＝.

∴sin αcos β＝.

由①－②，得2cos αsin β＝.

∴cos αsin β＝.

∴sin αcos β＝5cos αsin β.

(2)由(1)可知，sin αcos β＝5cos αsin β，

故＝，

即tan α＝5tan β.

3．证明：∵＝1，

∴1－tan θ＝2＋tan θ，得tan θ＝－.

由tan 2θ＝

＝＝＝－.

－4tan＝－4×

＝－4×＝－4×＝－，

∴tan 2θ＝－4tan.

4．证明：x＋y＝

＝sin θ＋cos θ.①

x－y＝

＝sin θ－cos θ.②

由∵①＋②，得2x＝2sin θ，

∴x＝sin θ.

又∵由①－②，得2y＝2cos θ，

∴y＝cos θ.

∴x2＋y2＝sin2θ＋cos2θ＝1.

5．解：函数的最小正周期是T＝，递减区间为(k∈Z)．

B组

1．证明：(1)∵左边＝2＋2cos22α－4cos 2α

＝2(cos22α－2cos 2α＋1)

＝2(1－cos 2α)2＝2·(2sin2α)2

＝8sin4α＝右边，

∴原题得证．

(2)∵左边＝－cos 2α

＝－cos 2α

＝－cos 2α

＝－cos 2α

＝－cos 2α

＝sin 2α－cos 2α

＝2sin＝右边，

∴原题得证．

2．解：sin 76°＝sin (90°－14°)

＝cos 14°＝m.

∴2cos27°－1＝m，

∴cos27°＝.

∵cos 7°>0，

∴cos 7°＝.

3．解：假设存在锐角α，β，使α＋2β＝，tantan β＝2－同时成立，

则＋β＝.

从而有tan＝

＝＝

＝tan＝.

∴tan＋tan β＝3－.

由

得

或

若tan＝1，则＝，

∴α＝与条件矛盾．

若tan β＝1，则β＝，

此时tan α＝＝，

∴α＝.

∴存在α＝，β＝满足题意．

4．证明：(1)分别作BF⊥x轴，CG⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为F，G，D.

(第4题图(1))

∵M为AB的中点，

∴ME为梯形ADFB的中位线．

∴ME＝(AD＋BF)．

∵AD＝OAsin α＝sin α，

BF＝OBsin β＝sin β，

∴ME＝(sin α＋sin β)．①

又∵CG⊥x轴，垂足为G，

由△OME∽△OCG，

∴＝.

∴ME＝.

又∵CG＝OCsin＝sin，

OM＝OAcos＝cos，OC＝1，

∴ME＝sincos

＝sincos.②

由①②可知，(sin α＋sin β)

＝sincos.

(2)过A，M，C，B作y轴的垂线，垂足分别为D，E，F，G.

(第4题图(2))

∵M为AB的中点，

∴ME为梯形ADGB的中位线．

∴EM＝.

∵GB＝OBcos β＝cos β，

DA＝OAcos α＝cos α，

∴EM＝(cos α＋cos β)．①

又由△OEM∽△OFC，

∴＝.

∴EM＝.

又∵OM＝OA·cos＝cos，

FC＝OC·cos＝cos，

∴EM＝coscos.②

由①②可证得，(cos α＋cos β)

＝coscos.

5．解：当x＝2时，

f(α)＝sin2α＋cos2α＝1；

当x＝4时，

f(α)＝sin4α＋cos4α

＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α

＝1－sin22α，此时有≤f(α)≤1；

当x＝6时，f(α)＝sin6α＋cos6α

＝(sin2α＋cos2α)3－3sin2αcos2α(sin2α＋cos2α)＝1－sin22α，此时有≤f(α)≤1.

由此猜想，当x＝2n，n∈N＋时，≤f(α)≤1.

6．解：(1)因为y＝3sin x＋4cos x

＝5

＝5sin(x＋φ)(其中cos φ＝，sin φ＝，φ角的终边在第一象限)，

所以函数的最大值为5，最小值为－5.

(2)因为y＝asin x＋bcos x

＝·

＝sin(x＋φ)(其中φ的终边所在的象限由a、b的取值确定，且sin φ＝，cos φ＝)，

所以，函数的最大值为，最小值为－.