人教版新课标A1.4 三角函数的图象与性质测试题

教材习题点拨

练习

1．解：可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象．两条曲线形状相同，位置不同，例如函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，可以通过函数y＝cos x，x∈的图象向右平行移动个单位长度而得到，图略．

2．解：由于y＝sin

＝sin＝sin

＝cos x，

可知函数y＝sin与y＝cos x的图象相同，图略．

练习1

1．解：成立，因为sin(120°＋30°)＝sin(180°－30°)＝sin 30°，但不能说120°是正弦函数y＝sin x，x∈R的一个周期，因为此等式不是对x的一切值都成立．

例如sin(20°＋120°)≠sin 20°.

2．解：(1)；(2)；(3)2π；(4)6π.

点拨：根据T＝求周期．

3．解：对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就被把握了．因此，我们研究周期函数时，只需研究它的一个周期内的性质即可．

练习2

1．解：(1)(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.

(2)(2kπ－π，2kπ)，k∈Z.

(3)，k∈Z.

(4)，k∈Z.

2．解：(1)不能成立，因为余弦函数的值域是[－1，1]，而∉[－1，1]．

(2)sin2x＝0.5，即sin x＝±能成立，因为正弦函数的值域是[－1，1]，且±∈[－1，1]．

3．解：(1)ymax＝2，

此时；ymin＝－2，

此时x∈.

(2)ymax＝3，此时{x|x＝3π＋6kπ，k∈Z}；ymin＝1，此时x∈{x|x＝6kπ，k∈Z}．

4．B

5．解：(1)sin 260°<sin 250°；

(2)cos>cos；

(3)cos 515°>cos 530°；

(4)sin>sin.

点拨：利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．

6．解：.

点拨：利用正弦函数的单调性得到关于x的不等式，通过解不等式求解．

练习

1．解：在x轴上任取一点O1，以O1为圆心，单位长为半径作圆，作垂直于x轴的直径，将⊙O1分成左右两个半圆，过右半圆与x轴的交点作⊙O1的切线，然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于－，－，－，0，，，等角的正切线．相应地，再把x轴上从－到这一段分成8等份．把角x的正切线平行移动，使它的起点与x轴上相应的点x重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数y＝tan x，x∈的图象．

2．解：(1)；

(2){x|x＝kπ，k∈Z}；

(3).

3．解：.

4．解：(1)；(2)2π.

5．解：(1)不是，例如0<π，但tan 0＝tan π＝0.

(2)不会．因为对任何区间A来说，如果A不含＋kπ(k∈Z)这样的数，那么y＝tan x，x∈A是增函数；如果A至少含有一个＋kπ(k∈Z)这样的数，那么在直线x＝＋kπ两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大)．

6．解：(1)tan 138°<tan 143°；

(2)tan>tan.

点拨：先利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上，再进行比较．

习题1.4

A组

1．解：

(第1题图)

2．解：(1)当{x|x＝6k＋3，k∈Z}时，ymax＝；

当{x|x＝6k，k∈Z}时，ymin＝.

(2)当时，ymax＝3；

当{x|x＝kπ－，k∈Z}时，ymin＝－3.

(3)当时，

ymax＝；

当时，

ymin＝－.

(4)当时，

ymax＝；

当时，

ymin＝－.

3．解：(1)3π；(2).

4．解：(1)sin 103°15′>sin 164°30′；

(2)cos>cos；

(3)sin 508°<sin 144°；

(4)cos 760°>cos(－770°)．

5．解：(1)递增区间为

，k∈Z；

递减区间为，k∈Z.

(2)递增区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z；递减区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z.

6．解：.

7．解：.

8．解：(1)tan>tan；

(2)tan 1 519°>tan 1 493°；

(3)tan 6>tan；

(4)tan<tan.

9．解：

(1)；

(2).

10．解：∵f(x)(x∈R)以2为最小正周期，

∴f(3)＝f(1＋2)＝f(1)

＝(1－1)2＝0；

f＝f＝f

＝＝.

点拨：将所给自变量数值利用周期转化到已经有解析式的区间内进行计算．

11．解：正弦曲线同坐标轴的交点都是它的对称中心，显然对称中心是(kπ，0)；正弦曲线还是轴对称图形，过图象的最高或最低点作x轴的垂线，都是它的对称轴，显然对称轴方程是x＝kπ＋，k∈Z.

余弦曲线的对称中心是，k∈Z；对称轴方程是x＝kπ，k∈Z.

正切曲线的对称中心是，k∈Z；但不是轴对称图形．

B组

1．解：

(1)；

(2).

2．解：单调递减区间是

，k∈Z.

3．解：(1)该函数的周期为2.

(2)y＝f(x＋1)的图象如图所示．

(第3题图)

(3)y＝|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z.