高中第二章 平面向量综合与测试练习

教材习题点拨

复习参考题

A组

1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．(1)D　(2)B　(3)D　(4)C　(5)D　(6)B

3．解：＝(a＋b)，＝(a－b)．

(第3题图)

4．解：DE＝BA＝MA－MB＝－a＋b，

(第4题图)

AD＝a＋b，

BC＝a＋b，

EF＝－a－b，

FA＝DC＝a－b，

CD＝－a＋b，

AB＝a－b，

CE＝－a＋b.

5．解：(1)＝(8，－8)，||＝8；

(2)＝(2，－16)，＝(－8，8)；

(3)·＝33.

6．解：与相等．

证明如下：

＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，

＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，

∴＝.

7．解：因为A(1，1)，B(－1，0)，C(0，1)，D(x，y)，

所以＝(－2，－1)，＝(x，y－1)．

又因为＝，

所以

所以

所以D(－2，0)．

8．解：由题意知n2＝4，得n＝±2.

但n＝－2时，两向量方向相反．

故n＝2.

9．解：因为a＝(1，0)，b＝(1，1)，

所以λa＋μb＝λ(1，0)＋μ(1，1)

＝(λ，0)＋(μ，μ)＝(λ＋μ，μ)．

又因为c＝λa＋μb＝(－1，0)，

所以

所以

10．解：因为A(1，1)，B(4，1)，C(4，5)，

所以＝(3，0)，＝(3，4)，＝(0，4)．

所以cos A＝＝＝，

cos B＝＝0，

cos C＝＝＝.

11．证明：因为(2n－m)·m＝2n·m－m2＝2×1×1×cos 60°－1＝0，

所以(2n－m)⊥m.

其几何意义是向量m，2n，2n－m构成一个锐角为60°的直角三角形．

12．解：a＋λb＝(1，0)＋λ(1，1)＝(1＋λ，λ)．

因为(a＋λb)⊥a，

所以(a＋λb)·a＝0，

即(1＋λ，λ)·(1，0)＝0.

所以1＋λ＝0.

所以λ＝－1.

13．解：|a＋b|＝

＝

＝＝，

|a－b|＝

＝＝1.

14．解：cos θ＝，cos β＝，

则θ≈51°，β≈18°.

B组

1．(1)A　(2)D　(3)B　(4)C　(5)C　(6)C　(7)D

2．解：a⊥b⇔a·b＝0⇔a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔|a＋b|＝|a－b|.其几何意义是以向量为邻边的矩形的对角线相等．

3．解：c⊥d⇔(a＋b)·(a－b)＝0⇔a2－b2＝0⇔a2＝b2⇔|a|＝|b|.

其几何意义是菱形的对角线互相垂直．

4．解：＝a＋b.

5．证明：由＋＋＝0，

得＋＝－，

∴|＋|＝|－|＝||.

∴(＋)2＝2，

即＋2＋2·＝2.

由||＝||＝||＝1，

得·＝－.

同理可得，·＝·＝－.∴△P1P2P3为正三角形．

6．解：＝2(b－a)．

7．解：(1)该人实际前进的速度为8 km/h，方向与水流间的夹角为60°；

(2)该人实际游泳的方向与水流成90°＋arccos 角，大小为4 km/h.

8．解：点O是△ABC的垂心．

9．解：(1)a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.

(2)向量(A，B)⊥直线Ax＋By＋C＝0.

(3)当A1B2－A2B1＝0时，l1∥l2；

当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2.

当A1B2≠A2B1时，直线l1与l2相交，l1与l2的方向向量分别为v1＝(－B1，A1)，v2＝(－B2，A2)．

通过两直线l1与l2的方向向量的夹角即可求得l1与l2的夹角θ，

由cos θ＝

＝.

(4)如图所示，P0(x0，y0)是直线外一定点，P(x，y)是直线上任意一点，

(第9题图)

由直线l：Ax＋By＋C＝0，取它的方向向量v＝(B，－A)．

设n＝(A，B)，因为n·v＝(A，B)·(B，－A)＝AB－AB＝0，

所以n⊥v.故称n为l的法向量，与n同向的单位向量

n0＝＝.

于是，点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离等于向量在n0方向上射影的长度

d＝|·n0|＝

＝||

＝||.

又因为P(x，y)为l上任意一点，

所以C＝－(Ax＋By)，

即d＝.