人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试精练

教材习题点拨

复习参考题

A组

1．解：∵α，β都是锐角，且sin α＝，

cos(α＋β)＝，

∴cos α＝，sin(α＋β)＝.

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝.

2．解：∵α∈，β∈，

∴－α∈，

＋β∈.

又∵cos＝，

sin＝－，

∴sin＝－，

cos＝－.

由于sin(π＋α＋β)

＝sin

＝sincos

－cossin

＝－×－×

＝－，

∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝.

3．解：∵α，β都是锐角，sin β＝，

∴tan β＝.

∴tan(α＋β)＝

＝＝.

∴tan(α＋2β)＝

＝＝1.

4．(1)证明：右边＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)

＝(1－tan αtan β)

＝tan α＋tan β＝左边，所以原题得证．

(2)解：原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.

(3)解：(1－tan α)(1－tan β)

＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β

＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β

＝1－tan(1－tan αtan β)＋tan αtan β

＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.

(4)解：原式＝

＝＝－.

5．解：(1)原式＝

＝＝4；

(2)原式＝sin 40°

＝sin 40°·

＝＝＝－1；

(3)原式＝tan 70°cos 10°

＝tan 70°cos 10°·

＝·cos 10°·

＝＝－1；

(4)原式＝sin 50°

＝sin 50°·

＝sin 50°·＝＝1.

6．解：(1)；(2)；

(3)或－；(4).

7．解：∵cos(α＋β)＝，

cos(α－β)＝，

∴cos αcos β－sin αsin β＝，①

cos αcos β＋sin αsin β＝.②

①＋②，得cos αcos β＝.

②－①，得sin αsin β＝.

∴＝tan αtan β＝.

8．证明：(1)∵左边＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3

＝2cos22α＋4cos 2α＋2

＝2(cos 2α＋1)2＝2(2cos2α)2

＝8cos4α＝右边，∴原题得证．

(2)∵左边＝

＝＝tan α＋＝右边，

∴原题得证．

(3)∵左边＝－2cos(α＋β)

＝－2cos(α＋β)

＝

＝＝右边，∴原题得证．

(4)∵左边＝

＝

＝＝tan4A＝右边，

∴原题得证．

9．解：y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x

＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋2cos2x－1＋1

＝sin 2x＋cos 2x＋2

＝sin＋2.

(1)设y＝sin t＋2，则t＝2x＋，

函数的递减区间为

t∈，k∈Z，

即＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ≤x≤＋kπ.

∴函数的递减区间为

，k∈Z.

(2)∵－1≤sin≤1，

∴ymax＝2＋，ymin＝2－.

10．解：f(x)＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－2sin xcos x

＝cos 2x－sin 2x＝cos.

(1)最小正周期是π.

(2)由x∈，

得2x＋∈，

所以当2x＋＝π，

即x＝时，f(x)取得最小值－，f(x)取最小值时x的集合为.

11．解：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x

＝1－cos 2x＋sin 2x

＝sin＋1.

(1)最小正周期是π，最大值为1＋.

(2)f(x)在上的图象，如图所示．

(第11题图)

12．解：f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a＝2sin xcos＋cos x＋a

＝sin x＋cos x＋a

＝2sin＋a.

(1)由于ymax＝2＋a＝1，∴a＝－1.

(2)∵f(x)≥0，

∴2sin－1≥0，

即sin≥.

∴＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z.

∴2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

∴适合题意的x的取值集合为

.

13．解：如图，设∠ABD＝α，

则∠CAE＝α，AB＝，AC＝.

(第13题图)

所以S△ABC＝·AB·AC

＝.

当2α＝，即α＝时，S△ABC取最小值h1h2.

B组

1．解法一：由及0≤α≤π，可解得sin α＝，

cos α＝sin α－＝.

所以sin 2α＝，cos 2α＝－，

sin＝.

解法二：由sin α－cos α＝，

得(sin α－cos α)2＝，sin 2α＝.

所以cos22α＝.

又由sin α－cos α＝，

得sin＝.

因为α∈[0，π]，

所以α－∈.

而当α－∈时，

sin≤0；

当α－∈时，

sin≥>.

所以α－∈，

即α∈.

所以2α∈，cos 2α＝－.

sin＝.

2．解：把cos α＋cos β＝两边平方，

得cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝，

把sin α＋sin β＝两边平方，

得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝，

把所得两式相加，

得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，

即2＋2cos(α－β)＝.

所以cos(α－β)＝－.

3．解：由sin＋sin α＝－，

可得sin α＋cos α＝－，

即sin＝－.

又因为－<α<0，

所以－<α＋<.

于是cos＝.

所以cos α＝cos

＝.

4．解：

＝

＝

＝sin 2x·

＝sin 2xtan.

由<x<，得<x＋<2π.

又因为cos＝，

所以sin＝－，

tan＝－，

cos x＝cos＝－，

sin x＝－，sin 2x＝.

所以＝－.

5．证明：由cos22β＝(1－2sin2β)2

＝(1－2sin θcos θ)2，

4cos22α＝4(1－2sin2α)2

＝4

＝4

＝4

＝(1－2sin θcos θ)2，

∴4cos22α＝cos22β.

6．解：f(x)＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m

＝2sin＋m＋1.

由x∈，

得2x＋∈，

于是有2＋m＋1＝6，解得m＝3.

f(x)＝2sin＋4(x∈R)的最小值为2，

由2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，得f(x)取最小值时x的取值集合为.

7．解：设AP＝x，AQ＝y，∠BCP＝α，∠DCQ＝β，

则tan α＝1－x，tan β＝1－y.

于是tan(α＋β)＝.

又△APQ的周长为2，

即x＋y＋＝2，

变形可得，xy＝2(x＋y)－2.

于是tan(α＋β)

＝＝1.

又因为0<α＋β<，

所以α＋β＝，

∠PCQ＝－(α＋β)＝.

8．解：(1)由

可得25sin2β－5sin β－12＝0.

解得sin β＝或sin β＝－(由β∈(0，π)，舍去)．

所以cos β＝－sin β＝－.

于是tan β＝－.

(2)根据所给条件，可求出仅由sin β，cos β，tan β表示的三角函数式的值．

例如sin，，等等．