数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质课后测评

能 力 提 升

一、选择题

1．定义在R上的函数f(x)，存在无数个实数x满足f(x＋2)＝f(x)，则f(x)(　　)

A．是周期为1的周期函数

B．是周期为2的周期函数

C．是周期为4的周期函数

D．不一定是周期函数

[答案]　D

2．函数y＝2cos的最小正周期是4π，则ω等于(　　)

A．2   B. 

C．±2   D．±

[答案]　D

[解析]　4π＝，∴ω＝±.

3．(2013山师附中期中)函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为(　　)

A.   B．π 

C．2π   D．4π

[答案]　A

[解析]　∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的最小正周期为.

4．函数y＝的周期是(　　)

A．2π   B．π 

C.   D.

[答案]　C

[解析]　T＝·＝.

5．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)

A．10   B．11 

C．12   D．13

[答案]　D

[解析]　T＝＝≤2　∴k≥4π又k∈N*

∴k最小为13，故选D.

6．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于(　　)

A．－   B．1 

C．－   D.

[答案]　D

[解析]　f＝f＝f

＝f＝f＝f

＝sin＝.

二、填空题

7．(2013·江苏)函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．

[答案]　π

[解析]　本题考查三角函数的周期．T＝＝π.

8．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．

[答案]　6

[解析]　T＝，又1<T<3，∴1<<3.

∴<<.∴<ω<2π.

则正整数ω的最大值为6.

9．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为________．

[答案]　±

[解析]　∵f(x)的最小正周期为，ω>0，

∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.

由f＝3sin＝3cosα＝，

∴cosα＝.

∴sinα＝±＝±.

三、解答题

10．求下列函数的周期．

(1)y＝sin2x；

(2)y＝－cos(x＋)；

(3)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)．

[解析]　由周期函数的定义求．

(1)令f(x)＝sin2x，

∵f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．

∴函数y＝sin2x的周期为π.

(2)令f(x)＝－cos(x＋)，

∵f(x＋2π)＝－cos[(x＋2π)＋]＝－cos(x＋)＝f(x)．

∴函数y＝－cos(x＋)的周期为2π.

(3)令f(x)＝sin(ωx＋φ)，

∵f(x＋)＝sin[ω(x＋)＋φ]＝sin(ωx＋φ＋2π)＝sin(ωx＋φ)＝f(x)，

∴函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为.

11．已知函数y＝sinx＋|sinx|.

(1)画出函数的简图．

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

[解析]　(1)y＝sinx＋|sinx|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.

12．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k值．

[解析]　由5cos(πx－)＝，

得cos(πx－)＝.

∵函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．

即2×≤3，且4×≥3.

∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.