人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课时练习

能 力 提 升

一、选择题

1．已知＝(2,3)，则点N位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．不确定

[答案]　D

[解析]　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．

2．已知M(2,3)、N(3,1)，则的坐标是(　　)

A．(2，－1)   B．(－1,2)

C．(－2,1)   D．(1，－2)

[答案]　B

[解析]　＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．

3．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　A

[解析]　a＝＝－

＝，λa＝a＝，故选A.

4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)   B．(－2,6)

C．(2，－6)   D．(－2，－6)

[答案]　D

[解析]　由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，

则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．

5．(2011～2012·凯里高一检测)已知向量a、b满足：a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a、b的坐标分别为(　　)

A．(4,0)、(－2,6)   B．(－2,6)、(4,0)

C．(2,0)、(－1,3)   D．(－1,3)、(2,0)

[答案]　C

[解析]　∵a＋b＝(1,3)　①

a－b＝(3，－3)　②

∴①＋②得：a＝(2,0)．

①－②得：b＝(－1,3)．

6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为(　　)

A．－2,3   B．－2，－3

C．2，－3   D．2,3

[答案]　D

[解析]　利用相等向量的定义求解．

∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，

∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，

即，解得：k＝2，l＝3.

二、填空题

7．已知＝(3,4)，B(2，－1)，则点A的坐标是____________．

[答案]　(－1，－5)

[解析]　设A(x，y)，则＝(2－x，－1－y)＝(3,4)．

故解得x＝－1，y＝－5.

8．已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是________．

[答案]　(－1，－)

[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，

＝(－8,1)．

∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．

即，解得，∴P(－1，－)．

9．(探究题)设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝________.

[答案]　

[解析]　设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即

解得因此，＝.

三、解答题

10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.

[解析]　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)

所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．

又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，

所以F为AD的中点，

故有＝＝－＝(1.75,2)．

11．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，将下列向量表示成xa＋yb的形式．

(1)p＝(2,3)；(2)q＝(－3,2)．

[解析]　xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．

(1)由p＝(2,3)＝(x＋y，x－y)，得即　所以p＝a－b.

(2)由q＝(－3,2)＝(x＋y，x－y)，得

即所以q＝－a－b.

12．已知向量u＝(x，y)与向量ν＝(y,2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．

(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；

(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．

[解析]　(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．

∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．

(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．

(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．

∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q.

∴向量c＝(2p－q，p)．