高中数学人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）随堂练习题

能 力 提 升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)

A．关于点对称   B．关于直线x＝对称

C．关于点对称   D．关于直线x＝对称

[答案]　A

[解析]　由T＝＝π，解得ω＝2，

则f(x)＝sin，

则该函数图象关于点对称．

2．(2013·四川理)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是(　　)

A．2，－

B．2，－

C．4，－

D．4，

[答案]　A

[解析]　本题考查正弦型函数的周期与初相．

T＝－(－)＝，

∴T＝＝π，∴ω＝2.

当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.

3．(山东师大附中2012－2013期中)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝(　　)

A．－　　　 B.　　　

C．－　　　 D.

[答案]　B

[解析]　首先由图象可知所求函数的周期为

T＝2＝，故ω＝＝3.

将代入解析式，

得Acos＝0，即cos＝0，

∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)．

令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos.

又∵f＝－，

∴f＝－Asin＝－A＝－，

∴A＝，

∴f(0)＝cos＝cos＝.

4．(2011～2012·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　　)

A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8

[答案]　A

[解析]　函数f(x)的周期T≤4＝π，

则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

5．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝(　　)

A．3或0   B．－3或3

C．0   D．－3或0

[答案]　B

[解析]　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，

则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，

则f是函数f(x)的最大值或最小值，

则f＝－3或3.

6．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　)

A.　　　 B.　　　

C.　　　 D．－

[答案]　A

[解析]　由于f(x)是偶函数，

则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，

则f(0)＝±2，

又当φ＝时，f(0)＝2sin＝2，

则φ的值可以是.

二、填空题

7．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝________.初相φ＝________.

[答案]　，

[解析]　当t＝时，s＝3sin＝3×＝.

8．(山东济南一中12－13期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，f(x)＝____________.

[答案]　3sin(＋)

[解析]　由图易知A＝3

而＝－π＝2π

故T＝4π.ω＝＝

∴f(x)＝3sin(＋φ)代入(π，3)

得sin(＋φ)＝1

∴＋φ＝解得φ＝

∴f(x)＝3sin(＋)．

9．(2013·长沙模拟)若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．

[答案]　

[解析]　y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]

即y＝sin(ωx＋π－π)

故π－π＋2kπ＝(k∈Z)

即π＝π＋2kπ

ω＝＋6k(k∈Z)

∵ω>0，∴ω的最小值为.

三、解答题

10．(2011～2012·黑龙江高一检测)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω>0且|φ|<π)在一个周期内的图象如图，

(1)求函数的解析式．

(2)求函数的单调递增区间．

[解析]　(1)由图得A＝2，T＝2[－(－)]＝π，

ω＝＝＝2，

故y＝2sin(2x＋φ)．

又2sin(－2×＋φ)＝2，即sin(－＋φ)＝1，

∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，∴φ＝

得函数解析式为y＝2sin(2x＋)．

(2)令z＝2x＋，函数y＝sinz的单调递增区间是

[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ

得－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)

所以函数y＝2sin(2x＋)的递增区间为[－＋kπ，－＋kπ]，k∈Z.

11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求ω和φ的值．

[解析]　∵f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，

∴φ＝＋kπ，k∈Z.

又∵0≤φ≤π，∴φ＝，

∴f(x)＝sin＝cosωx.

∵图象关于点对称，∴cosω＝0.

∴ω＝＋nπ，n∈Z.∴ω＝＋n，n∈Z.

又∵f(x)在区间上是单调函数，∴≥－0，

即×≥，∴ω≤2.

又∵ω>0，∴ω＝或ω＝2.

12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和.

求：(1)f(x)的解析式；

(2)f(x)的值域；

(3)f(x)的对称轴．

[解析]　(1)A＝，T＝2＝π

∴＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

又在f(x)图象上，

∴f＝0.∴sin＝0.

∴sin＝0.

又－π<φ<0，∴φ＝－.

∴f(x)＝sin.

(2)值域是[－，]．

(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，

∴x＝＋(k∈Z)．

∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．