数学必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示测试题

能 力 提 升

一、选择题

1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　　)

A．平行四边形   B．矩形

C．梯形   D．菱形

[答案]　C

[解析]　∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，

∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.

2．已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示为(　　)

A.(4a＋5b)

B.(9a＋7b)

C.(2a＋b)

D.(3a＋b)

[答案]　A

[解析]　利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解．

∵＝＋，＝＋

＝＋＝＋＝.

而＝b－a，∴＝b－a，

∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.

3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b   B.a＋b

C.a＋b   D.a＋b

[答案]　D

[解析]　∵＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.

4．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)

A.   B. 

C．－3   D．0

[答案]　D

[解析]　∵＝

＝(－)

∴r＝　s＝－

∴r＋s＝0.

5．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为(　　)

A．150°   B．120° 

C．60°  D．30°

[答案]　B

[解析]　∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c

∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．

∴a与b的夹角为120°.

6．(2011～2012·合肥市)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　C

[解析]　设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，

＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)

＝a＋(1－λ)b，

∵与共线，∴＝，∴λ＝，

∴＝＋＝b＋＝b＋

＝a＋b，故x＝，y＝.

二、填空题

7．向量a与b的夹角为25°，则2a与－b的夹角θ＝________.

[答案]　155°

[解析]　作＝a，＝b，则∠AOB＝25°，如图所示．

延长OA到C，使OA＝AC，则＝2a.

延长BO到D，使OD＝BO，则＝－b.

则θ＝∠DOA，又∠DOA＋∠AOB＝180°，则∠DOA＝180°－25°＝155°，则θ＝155°.

8．已知e1、e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋(1－k)e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.

[答案]　－2或

[解析]　由题设知＝，∴3k2＋5k－2＝0.

解得k＝－2或.

9．已知向量a和向量b不共线，且m＋n＝a，m－n＝b，则m＝________，n＝________.(用a、b表示)

[答案]　　

[解析]　解方程组

得m＝，n＝

三、解答题

10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a、b表示、，.

[解析]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．

则＝＝＝a，

＝－＝－＝b－a，

＝－＝－－

＝－－

＝a－b.

11．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．

[解析]　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝120°，

以OA，OB为邻边作▱OACB，

则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，

＝＝a.

因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为等腰三角形，

所以∠OAB＝30°

即a－b与a的夹角为30°.

因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，

所以OC⊥AB，所以∠COA＝60°，

即a＋b与a的夹角为60°.

12．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a、b将、、表示出来．

[解析]　如图，＝－＝－－＝－－(－)＝－＝b－a.

同理可得＝a－b，

＝－＝－(＋)＝a＋b.