高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例当堂达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例当堂达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
能 力 提 升一、选择题1．(2013·烟台模拟)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为(　　)A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形C．等边三角形   D．等腰直角三角形[答案]　B[解析]　由(－)·(＋－2)＝0，可知·(＋)＝0，设BC的中点为D，则＋＝2，故·＝0，所以⊥.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．2．(2013·福建文)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)A.　　 　B．2　　 　C．5　　　　D．10[答案]　C[解析]　本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．由题意知AC，BD为四边形对角线，而·＝1×(－4)＋2×2＝0∴AC⊥BD.∴S四边形ABCD＝×||×||＝××＝××＝5.3．若向量＝(2,2)、＝(－2,3)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为(　　)A．(0,5)  B．(4，－1)C．2   D．5[答案]　D[解析]　F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.4．速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是(　　)A．2 m/s   B．10 m/sC．12 m/s   D．2m/s[答案]　D[解析]　|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.∴|v|＝2(m/s)．5．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)A．2   B．2  C．2   D．6[答案]　A[解析]　∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，∴|F3|＝|－F1－F2|＝＝＝＝2.6．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a＋b表示(　　)A．向东北方向航行2 kmB．向北偏东30°方向航行2 kmC．向北偏东60°方向航行2 kmD．向东北方向航行(1＋)km[答案]　B[解析]　a与b的夹角为90°，则a·b＝0，则|a＋b|＝＝＝＝＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，即a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.二、填空题7．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．[答案]　60　60°[解析]　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.8．(浙江高考)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．[答案]　[，π][解析]　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．9．(广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为____________．[答案]　[解析]　|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，所以|F1＋F2|＝.三、解答题10．如图所示，已知▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．[解析]　设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，则|a|＝3，|b|＝1，θ＝.∴a·b＝|a||b|cosθ＝.又∵＝a＋b，＝a－b，∴||＝＝＝＝，||＝＝＝＝.∴AC＝，DB＝.11．已知：▱ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形．[证明]　设＝a，＝b，由于四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.∴|a＋b|2＝|b－a|2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2.∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD.∴四边形ABCD是矩形．12．今有一小船位于d＝60 m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80 m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37°＝)[解析]　如图，由题设可知，船的实际速度v＝v划＋v水，其方向为临界方向.则最小划速|v划|＝|v水|·sinθ，sinθ＝＝＝，∴θ＝37°.∴最小划速应为v划＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)．当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.