人教版新课标A3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步练习题

能 力 提 升

一、选择题

1．(2013·长沙模拟)若＝－，则cosα＋sinα的值为(　　)

A．－　　 B．－　　

C.　　　 D.

[答案]　C

[解析]　＝

＝

＝－(cosα＋sinα)＝－.

∴sinα＋cosα＝.

2．已知sinθ＝，sinθcosθ<0，则sin2θ的值为(　　)

A．－   B．－ 

C．－   D.

[答案]　A

[解析]　∵sinθ＝>0，sinθcosθ<0，

∴cosθ<0.

∴cosθ＝－＝－.

∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－.

3．若x＝，则cos2x－sin2x的值等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　D

[解析]　当x＝时，cos2x－sin2x＝cos2x

＝cos(2×)＝cos＝.

4．(2013·济南模拟)已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为(　　)

A.   B. 

C.   D．－1

[答案]　B

[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ

＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.

5．已知向量a＝的模为，则cos2θ等于(　　)

A.－   B．－

C．－   D.

[答案]　C

[解析]　|a|＝＝，则cos2θ＝，

所以cos2θ＝2cos2θ－1＝－.

6．(2013·新课标Ⅱ文)已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　A

[解析]　本题考查半角公式及诱导公式．

由倍角公式可得，cos2(2＋)＝＝＝＝，故选A.

二、填空题

7．在△ABC中，cosA＝，则sin2A＝________.

[答案]　

[解析]　∵0<A<π，∴sinA＝＝.

∴sin2A＝2sinAcosA＝.

8．(2013山东师大附中模拟)若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于________．

[答案]　

[解析]　由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α＝.∵α∈(0，)，∴cosα＝，

∴α＝，∴tanα＝tan＝.

9．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．

[答案]　

[解析]　设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有4×＋1＝25，∴ab＝12.

又a2＋b2＝25，即直角三角形的斜边c＝5.

解方程组

得或

∴cosθ＝.∴cos2θ＝2cos2θ－1＝.

三、解答题

10．已知sin(－x)＝，0<x<，求的值．

[解析]　原式＝

＝＝2sin(＋x)．

∵sin(－x)＝cos(＋x)＝，

且0<x<，

∴＋x∈(，)，

∴sin(＋x)＝＝.

∴原式＝2×＝.

11．已知cos(x－)＝，x∈(，)．

(1)求sinx的值．

(2)求sin(2x＋)的值．

[解析]　(1)因为x∈(，)，

所以x－∈(，)，

于是sin(x－)＝＝，

则sinx＝sin[(x－)＋]

＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin

＝×＋×＝.

(2)因为x∈(，)，

故cosx＝－＝－＝－，

sin2x＝2sinxcosx＝－，

cos2x＝2cos2x－1＝－，所以sin(2x＋)

＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.

12．设函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－sin2x＋sinxcosx，当x∈[0，]时，求f(x)的最大值和最小值．

[解析]　f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx＋(cos2x－sin2x)

＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．

∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，

∴－≤sin(2x＋)≤1，

从而－≤f(x)≤2

故当x∈[0，]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－.