高中数学人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）巩固练习

能 力 提 升

一、选择题

1．(四川高考)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin(2x－)   B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－)   D．y＝sin(x－)

[答案]　C

[解析]　函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．

2．(2013·山东理)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.　　　B.　　　　C．0　　　　D．－

[答案]　B

[解析]　本题考查了三角函数的奇偶性、图象变换等知识．

由已知将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到的函数解析式为y＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)，由于此函数为偶函数，则φ＋＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，∴φ＝.

3．(湖南高考)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　D

[解析]　由题意，得sin(x＋φ)＝sin(x－)，又0≤φ<2π，故φ＝.

4．函数y＝－sin的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　A

[解析]　由4x＋＝kπ得，x＝－，k＝0时，得点，k＝1时得点，故选A.

5．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：

则有(　　)

A．A＝0，ω＝，φ＝0   B．A＝2，ω＝3，φ＝

C．A＝2，ω＝3，φ＝－   D．A＝1，ω＝2，φ＝－

[答案]　C

[解析]　由表格得A＝2，π－＝，

∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.

当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.

6．(2012全国高考浙江卷)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是(　　)

[答案]　B

[解析]　把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向右平移1个单位长度得：y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x－1)．令x＝0，得：

y3>0；x＝＋1，得：y3＝0；观察即得答案．

二、填空题

7．把函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是________．

[答案]　y＝3sin2x－1

[解析]　函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得函数y＝3sin＝3sin2x，再向下平移1个单位长度得y＝3sin2x－1.

8．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________.

[答案]　2sin－1

[解析]　将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1.

三、解答题

9．函数y＝f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得到的曲线是y＝sinx的图象，求函数y＝f(x)的解析式．

[解析]　

y＝sin(x－)

y＝sin(2x－)＝－cos2x.

即f(x)＝－cos2x.

10．(广东揭阳第一中学2012－2013期中)已知函数f(x)＝3sin(x－)，x∈R.

(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

[解析]　(1)函数f(x)的周期T＝＝4π

由x－＝0，，π，，2π，

解得x＝，，，，.

列表如下：

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．

图象如下：

(2)方法一：先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移个单位，得到f(x)的图象．

11．将函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．

(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象．

(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．

[解析]　函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，

可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos2x的图象，即图象C2.

(1)画出图象C1和C2的图象如图

(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．

即方程f(x)＝g(x)解的个数为7.