高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算当堂检测题

第23课时　平面向量共线的坐标表示

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．

　两向量平行的条件

(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.

(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)且(b1b2≠0)，则a∥b⇔＝，即两条向量平行的条件是相应坐标成比例．

一、选择题

1．若三点A(1,1)、B(2，－4)、C(x，－9)共线，则(　　)

A．x＝－1　　　B．x＝3

C．x＝        D．x＝5

答案：B

解析：因为A、B、C三点共线，所以与共线．

＝(1，－5)，＝(x－2，－5)，所以(x－2)·

(－5)＋5＝0.所以x＝3.

2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为(　　)

A．－  B.

C.      D．－

答案：C

解析：根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.

3．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为(　　)

A．－3  B．2

C．4    D．－6

答案：D

解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.

4．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)两向量方向相反，则x＝(　　)

A．－5  B．5

C．－1  D．1

答案：A

解析：由两向量共线可得x2－25＝0∴x＝±5，

又两向量方向相反，∴x＝－5.

5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)

A.     B．2

C．－  D．－2

答案：D

解析：根据题意，得ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.

6．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－)且a∥b，则锐角θ等于(　　)

A．45°  B．30°

C．60°  D．30°或60°

答案：A

解析：由向量共线条件得－2×(－)－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即cos2θ＝.所以θ＝45°.

二、填空题

7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.

答案：1

解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.

8．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．

答案：1

解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.

9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，若m∥n，则λ＝________.

答案：－

解析：m＝(4＋λ，3－2λ)，n＝(7,8)，

由(4＋λ，3－2λ)，k(7,8)，得λ＝－.

三、解答题

10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．

(1)若＝，求点D的坐标；

(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．

解：(1)设D(x，y)．

由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，

即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，

所以，解得.

所以点D的坐标为(5，－6)．

(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，

b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，

所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，

a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．

由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，

所以k＝－.

11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

解：(1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，

∴3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

∴解得

(3)由a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.

12．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则等于(　　)

A.     B．2

C．－  D．－2

答案：C

解析：易知a，b不共线，则有＝，故＝－.

13．已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，

(1)点P在第一、三象限的角平分线上？

(2)点P在第三象限内？

解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．

＋λ＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∵＝＋λ，

∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∴∴

∴点P的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．

(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝.

(2)若点P在第三象限内，则

∴∴λ＜－1.

即当λ＜－1时，点P在第三象限内．