高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课后测评

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章章末检测　　　　　　　　　　　　　班级____　姓名____　考号____　分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为(　　)A．－  B.C.      D．1答案：B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.2．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于(　　)A．－  B．－C.       D.答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.3．已知M＝，N＝，则(　　)A．M＝N  B．M⊆NC．N⊆M  D．M∩N＝∅答案：B解析：由cos2x＝1－2sin2x＝，得sinx＝±，故选B.4．已知sin＝－，cos＝，则角θ终边所在象限是(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限答案：C解析：∵sinθ＝2sincos＝－<0，cosθ＝cos2－sin2＝－<0，∴θ终边在第三象限．5．函数f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是(　　)A.B.C.D.答案：D解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg (－cos2x)，∴－cos2x>0，∴cos2x<0，∴2kπ＋<2x<2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.6．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为(　　)A.  B．(0,0)C.  D.答案：C解析：由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.将x＝－代入得函数值为0.7．tan20°＋tan40°＋(tan20°＋tan40°)等于(　　)A.  B．1C.  D.答案：C解析：tan60°＝，∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，∴tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.8．关于x的方程sinx＋cosx－a＝0有实数解，则实数a的范围是(　　)A．[－2,2]  B．(－2,2)C．(－2,0)  D．(0,2)答案：A解析：sinx＋cosx－a＝0，∴a＝sinx＋cosx＝2＝2sin，－1≤sin≤1，∴－2≤a≤2.9．若α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)A.         B.C.或  D．－答案：B解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，∵α为锐角cosα＝ ＝，∴sin(α＋β)＝＜sinα，∴α＋β＞.∴cos(α＋β)＝－ ＝－，∴cosβ＝－×＋×＝.10．函数y＝sin＋cos的图象的一条对称轴方程为(　　)A．x＝π   B．x＝πC．x＝－π  D．x＝－答案：C解析：y＝sin＋cos＝2sin，又f＝2sin＝2sin＝－2，∴x＝－π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于(　　)A.  B．－C.      D．－答案：A解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，知sin2θcos2θ＝，又θ为第三象限角，∴sinθ·cosθ＝，sin2θ＝.12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为(　　)A.  B.C．2  D．3答案：D解析：f(x)＝1－cos＝1＋sin2x.|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－cos2a|＝|2sin＋1|≤3.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．coscosπ的值是________．答案：解析：原式＝·2sincos·cos＝·2sincosπ＝sinπ＝.14．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．答案：－解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝＋cosα，∴2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－＝0，∴cosα＝，∵α∈，∴cosα>0，∴cosα＝，∴sinα＝＋cosα＝，∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－＝－.15．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为________．答案：解析：∵cosα＝，α∈，∴sinα＝，∴sin2α＝，cos2α＝－.又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.16．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．答案：－解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵＝＝3，∴tanα＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，∴|a－b|＝＝＝，∴cos(α－β)＝.19．(12分)已知函数f(x)＝－2 sin2x＋sin2x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.(2)列表：x0π2x＋π2πf(x)20－20描点连线得图象，如图所示．20．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.∵θ∈，∴cosθ＝，sinθ＝.(2)解法一：由sin(θ－φ)＝得，sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 cosφ＋＝1⇒5cos2φ－2 cosφ－＝0.解得cosφ＝或cosφ＝－，∵0<φ<，∴cosφ＝.解法二：∵0<θ，φ<，∴－<θ－φ<.所以cos(θ－φ)＝＝.故cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝×＋×＝.21．(12分)已知函数f(x)＝sinx＋cos(x－π)．(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若函数f(x)的图象过点，<α<，求f的值．解：(1)由题意得，f(x)＝sinx＋cos(x－π)＝sinx－cosx＝2sin，因为－1≤sin≤1，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，函数f(x)的周期为2π.(2)因为函数f(x)过点，所以f(α)＝⇒2sin＝⇒sin＝，因为<α<，所以0<α－<⇒cos>0⇒cos＝＝，所以f＝2sinα＝2sin＝2sincos＋2cossin⇒f＝.22．(12分)在△ABC中，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝sin2B＋cos2B＝2sin.∵f(B)＝2，∴2sin＝2.∵B是△ABC的内角，∴2B＋＝，则B＝.(2)若f(B)－m>2恒成立，即2sin>2＋m恒成立．∵0<B<π，∴<2B＋<π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m<－2，即m<－4.