高中数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习题

第28课时　两角和与差的正弦、余弦

　1.掌握两角和的余弦，两角和与差的正弦公式．

2．能熟练运用公式进行恒等变形．

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ

一、选择题

1．coscos＋sinsin的值为(　　)

A.   B．0

C.  D．1

答案：A

解析：由两角差的余弦公式，得coscos＋sinsin＝cos＝cos＝，故选A.

2．已知cos＋sinα＝，则sin(α＋)的值是(　　)

A．－  B.

C．－     D.

答案：C

解析：原方程可化为cosα＋sinα＝ ，

即sin＝，

∴sin＝－sin＝－，故选C.

3．函数f(x)＝cos－cos是(　　)

A．周期为π的偶函数

B．周期为2π的偶函数

C．周期为π的奇函数

D．周期为2π的奇函数

答案：D

解析：因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sinx，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.又f(－x)＝－sin(－x)＝sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.

4．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为(　　)

A．cosx  B．sinx

C．cos(x＋y)  D．cos(x－y)

答案：A

解析：原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny

＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)siny＋2sin(x＋y)siny

＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny

＝cosx.

5．在sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范围是(　　)

A.≤a≤  B．a<

C．a>    D．－≤a≤－

答案：A

解析：∵sinx＋cosx＝2a－3，∴sinx＋cosx＝a－.

∴sin＝a－.

∵≤1，

∴≤1，即－1≤a－≤1，

∴≤a≤.

6．若sinα·sinβ＝1，则cos(α＋β)的值为(　　)

A．0   B．1

C．±1  D．－1

答案：D

解析：由sinα·sinβ＝1可知sinα，sinβ同时为1或－1，此时cosα，cosβ均等于0.

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－1.

二、填空题

7．若cosα＝，α∈，则cos＝________.

答案：

解析：∵cosα＝，α∈，∴sinα＝－

∴cos＝cos·cosα＋sin·sinα＝

8．若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．

答案：等腰三角形

解析：△ABC中C＝π－(A＋B)

sinC＝sin(A＋B)

∴2cosBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB

即cosBsinA－cosAsinB＝0

∴sin(A－B)＝0　∴A＝B.

9．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，则sin(α＋β)＝________.

答案：

解析：由sin＝，且0<α<，得cos＝－.由cos＝，<β<，得sin＝.

故cos

＝coscos－

sinsin＝－，

即cos＝－sin(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝.

三、解答题

10．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．

解：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα

＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα

＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝

∴sinβ＝－.

又∵β为第三象限的角，

∴cosβ＝－，

∴sin＝sinβcos＋cosβsin

＝－×＋×＝.

11．若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，求cos的值．

解：∵cos＝－，∴cos＝.

∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.

∵－<β<0，∴<－<.

又cos＝，

∴sin＝，

∴cos

＝cos

＝coscos＋

sinsin

＝×＋×

＝.

12．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值等于(　　)

A．±1   B．1

C．－1  D．0

答案：D

解析：原式＝sin[(θ＋15°)＋60°]＋cos[(θ＋15°)＋30°]－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.

13．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.

(1)求sinθ和cosθ的值；

(2)若5cos(θ－φ)＝3 cosφ，0<φ<，求cosφ的值．

解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，

即sinθ＝2cosθ.

又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，

即cos2θ＝，∴sin2θ＝.

又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.

(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)

cosφ＋2 sinφ＝3 cosφ，

∴cosφ＝sinφ，

∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，

即cos2φ＝，

又0<φ<，

∴cosφ＝.