高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课后复习题

2.3.4　平面向量共线的坐标表示

课时目标　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．

1．两向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

(1)当a∥b时，有______________________．

(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．

当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；

当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；

当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．

一、选择题

1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　　)

A．(1,0)              B．(－1,0)

C．(1，－1)          D．(－1,1)

2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)

A．平行于x轴

B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴

D．平行于第二、四象限的角平分线

3．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　)

A．2        B.        C．－2        D．－

4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　)

A．－1            B．－

C.               D．1

6．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)

A．－13          B．9

C．－9           D．13

二、填空题

7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．

8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝________.

9．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．

10．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

三、解答题

11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

12．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．

能力提升

13．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为(　　)

A．3x＋2y－11＝0         B．(x－1)2＋(y－2)2＝5

C．2x－y＝0              D．x＋2y－5＝0

14．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________.

1．两个向量共线条件的表示方法

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

(1)当b≠0，a＝λb.

(2)x1y2－x2y1＝0.

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．

2．向量共线的坐标表示的应用

两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．

(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．

2．3.4　平面向量共线的坐标表示

答案

知识梳理

1．(1)x1y2－x2y1＝0　(2)＝

2．(0，＋∞)　(－∞，－1)　(－1,0)

作业设计

1．C

2．C　[∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]

3．A　[∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.

∴tan α＝2.故选A.]

4．D　[由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，

∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，

∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.

∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D.]

5．B　[∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，

v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，

又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－.故选B.]

6．C　[C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．

∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]

7.

解析　由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.

8．(－4，－8)

解析　由a∥b得m＝－4.

∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．

9．3

解析　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，

∵P、A、B三点共线，∴与共线．

∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.

10．2

解析　λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴＝，∴λ＝2.

11．解　由已知得ka＋b＝(k－3,2k＋2)，

a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，

∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.

此时ka＋b＝＝－(a－3b)，

∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．

12．解　方法一　由题意知P、B、O三点共线，又＝(4,4)．

故可设＝t＝(4t,4t)，

∴＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，

＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．

又∵A、C、P三点共线，∴∥，

∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝，

∴＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．

方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．

∵P、B、O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0.

又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，

＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，

∵P、A、C三点共线，∴∥，∴6(x－4)＋2y＝0.

由　得

所以点P的坐标为(3,3)．

13．D　[设点C的坐标为(x，y)，

则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)，

∴

①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，

∴x＋2y－5＝0.所以点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0.]

14．(2,3)

解析　设＝λ，则得C点坐标为.

把C点坐标代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C点坐标为(2,3)．