数学1.2 任意的三角函数第4课时随堂练习题

第4课时　三角函数线

　借助单位圆理解任意角三角函数定义(正弦、余弦、正切)．

1．在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．

2．利用单位圆定义求任意角的三角函数．设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；

(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；

(3)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．

3．三角函数线

图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．

一、选择题

1．已知有向线段MP、OM、AT分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有(　　)

A．MP＜OM＜AT

B．OM＜MP＜AT

C．AT＜OM＜MP

D．OM＜AT＜MP

答案：B

解析：画出三角函数线可作出判断．

2．下列判断错误的是(　　)

A．角α一定时，单位圆中的正弦线一定

B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等

C．角α与角α＋π有相同的正切线

D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上

答案：B

3．已知角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为(　　)

A.　　B.

C.   D.或

答案：D

解析：依题意，角α的终边是第二、四象限角的平分线．

4．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　)

A．在x轴上       B．在y轴上

C．在直线y＝x上  D．在直线y＝－x上

答案：B

解析：当角α的正弦线的长度为单位长度，即单位圆的半径，此时角α的终边在y轴上．

5．sin1，cos1，tan1的大小关系是(　　)

A．sin1＜cos1＜tan1

B．sin1＞tan1＞cos1

C．cos1＜sin1＜tan1

D．tan1＜sin1＜cos1

答案：C

解析：作出角1的正弦线MP，余弦线OM和正切线AT，比较大小可知：OM＜MP＜AT.所以sin1、cos1、tan1从小到大排列顺序为cos1＜sin1＜tan1(如图所示)．

6．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围是(　　)

A.∪

B.

C.

D.∪

答案：C

解析：如图所示，当α∈时，恒有MP>OM，而当α∈∪时，则是MP<OM.

二、填空题

7．若sinα≥，则α的取值范围是________．

答案：{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}

解析：如图作直线y＝交单位圆于A，B两点，

连结OA，OB，则图中的阴影部分即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的取值范围为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．

8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是________．

答案：(－2,3]

解析：∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα>0，cosα≤0，∴，解得－2<a≤3.

9．观察角α从0°增大到360°时正弦线长度的变化，填写空格：

①当α从0°逐渐增大到90°时，sinα从________逐渐________到________；

②当α从90°逐渐增大到180°时，sinα从________逐渐________到________；

③当α从180°逐渐增大到270°时，sinα从________逐渐________到________；

④当α从270°逐渐增大到360°时，sinα从________逐渐________到________．

答案：①0，增大，1；②1，减小，0；③0，减小，－1；④－1，增大，0.

三、解答题

10．利用三角函数线比较sin，cos，tan的大小．

解：如图所示：

由图可知cos<0，tan>0，

sin>0，且tan＝tan，∵0<<，sin<tan.故cos<sin<tan.

11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．

(1)sinx>－且cosx>；

(2)tanx≥－1.

解：

(1)由图①，知当sinx>－且cosx>时，

角x满足的集合为

.

(2)由图②，知当tanx≥－1时，角x满足的集合为

∪x2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z，

即.

12．如果<θ<，那么下列各式中正确的是(　　)

A．cosθ<tanθ<sinθ

B．sinθ<cosθ<tanθ

C．tanθ<sinθ<cosθ

D．cosθ<sinθ<tanθ

答案：D

解析：如图所示，由三角函数线易知，

cosθ<cos＝，1>sinθ>sin＝，tanθ>tan＝1.

13．已知0<α<，求证：

(1)sinα＋cosα>1；

(2)sinα<α<tanα.

证明：如图所示，设α的终边与单位圆交于P，作PM⊥x轴于M，过点A(1,0)作AT⊥x轴，交α的终边于T，则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.

(1)在△OMP中，

∵OM＋MP>OP，∴sinα＋cosα>1.

(2)连接PA，

则S△POA＝OA·MP，S扇形AOP＝OA2·α，

S△OTA＝OA·AT.又∵S△POA<S扇形POA<S△OTA，

∴OA·MP<OA2·α＜OA·AT，

∴MP<α<AT，即sinα<α<tanα.