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    高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课后作业题

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    这是一份高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课后作业题,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    第三章 三角恒等变换(B)
    (时间:120分钟 满分:150分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
    1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°等于(  )
    A.0 B. C. D.1
    2.若函数f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)是(  )
    A.最小正周期为的奇函数
    B.最小正周期为π的奇函数
    C.最小正周期为2π的偶函数
    D.最小正周期为π的偶函数
    3.已知α∈(,π),sin α=,则tan(α+)等于(  )
    A. B.7 C.- D.-7
    4.函数f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是(  )
    A.[-π,-] B.[-,-]
    C.[-,0] D.[-,0]
    5.化简:的结果为(  )
    A.1 B. C. D.tan θ
    6.若f(sin x)=3-cos 2x,则f(cos x)等于(  )
    A.3-cos 2x B.3-sin 2x
    C.3+cos 2x D.3+sin 2x
    7.若函数f(x)=sin(x+)+asin(x-)的一条对称轴方程为x=,则a等于(  )
    A.1 B. C.2 D.3
    8.函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是(  )
    A.[-,] B.[-+,+]
    C.[-,] D.[--,-]
    9.若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于(  )
    A.- B. C.- D.
    10.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α的值为(  )
    A.±4 B.4 C.-4 D.1
    11.若cos =,sin =-,则角θ的终边所在的直线方程为(  )
    A.7x+24y=0 B.7x-24y=0
    C.24x+7y=0 D.24x-7y=0
    12.使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[-,0]上为减函数的θ的值为(  )
    A.- B.- C. D.
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    答案













    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是______.
    14.已知sin αcos β=1,则sin(α-β)=________.
    15.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则cos α=________.
    16.函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°),(x∈R)的最大值是________.

    三、解答题(本大题共6小题,共70分)
    17.(10分)已知sin(α+)=-,α∈(0,π).
    (1)求的值;
    (2)求cos(2α-)的值.














    18.(12分)已知函数f(x)=2cos xsin x+2cos2x-.
    (1)求函数f(x)的最小正周期;
    (2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值;
    (3)求函数f(x)的单调增区间.












    19.(12分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),且x∈[-,].
    (1)求a·b及|a+b|;
    (2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.












    20.(12分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B-8cos B+5=0,若=a,=b且a,b满足:a·b=-9,|a|=3,|b|=5,θ为a,b的夹角.
    (1)求角B;
    (2)求sin(B+θ).












    21.(12分)已知向量m=(-1,cos ωx+sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且m⊥n,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.
    (1)求ω的值;
    (2)设α是第一象限角,且f(α+)=,求的值.










    22.(12分)已知函数f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).
    (1)求φ的值;
    (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.








    第三章 三角恒等变换(B)
    答案

    1.D [原式=sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°=sin 90°=1.]
    2.D [f(x)=sin2x-=(2sin2x-1)=-cos 2x,
    ∴T==π,f(x)为偶函数.]
    3.A [∵α∈(,π),sin α=,∴cos α=-,
    tan α==-.∴tan(α+)===.]
    4.D [f(x)=sin x-cos x=2sin(x-).
    令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
    得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
    令k=0得-≤x≤.
    由此可得[-,0]符合题意.]
    5.B [原式===sin 60°=.]
    6.C [f(sin x)=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,
    ∴f(x)=2x2+2,
    ∴f(cos x)=2cos2x+2=1+cos 2x+2=3+cos 2x.]
    7.B [f(x)=sin(x+)-asin(-x)=sin(x+)-acos(+x)=sin(x+-φ)
    ∴f()=sin +asin =a+=.
    解得a=.]
    8.B [y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,
    ∵x∈R,
    ∴-1≤sin(2x-)≤1,
    ∴y∈[-+,+].
    9.B [∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=.
    cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcos θ=
    ===.]
    10.C [3cos(2α+β)+5cos β
    =3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,
    ∴2sin(α+β)sin α=-8cos(α+β)cos α,
    ∴tan(α+β)tan α=-4.]
    11.D [cos =,sin =-,tan =-,∴tan θ===.
    ∴角θ的终边在直线24x-7y=0上.]
    12.D [∵f(x)为奇函数,∴f(0)=sin θ+cos θ=0.
    ∴tan θ=-.∴θ=kπ-,(k∈Z).
    ∴f(x)=2sin(2x+θ+)=±2sin 2x.
    ∵f(x)在[-,0]上为减函数,
    ∴f(x)=-2sin 2x,∴θ=.]
    13.
    解析 ∵f(x)=[1-cos(4x-)]=-sin 4x ∴T==.
    14.1
    解析 ∵sin αcos β=1,
    ∴sin α=cos β=1,或sin α=cos β=-1,
    ∴cos α=sin β=0.
    ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β=1.
    15.
    解析 cos β=-,sin β=,
    sin(α+β)=,cos(α+β)=-,
    故cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=(-)×(-)+×=.
    16.1
    解析 令x+10°=α,则x+40°=α+30°,
    ∴y=sin α+cos(α+30°)
    =sin α+cos αcos 30°-sin αsin 30°
    =sin α+cos α
    =sin(α+60°).
    ∴ymax=1.
    17.解 (1)sin(α+)=-,α∈(0,π)⇒cos α=-,α∈(0,π)⇒sin α=.
    ==-.
    (2)∵cos α=-,sin α=⇒sin 2α=-,cos 2α=-.
    cos(2α-)=-cos 2α+sin 2α=-.
    18.解 (1)原式=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)=2(sin 2xcos +cos 2xsin )
    =2sin(2x+).
    ∴函数f(x)的最小正周期为π.
    (2)当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)有最大值为2.
    当2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)有最小值为-2.
    (3)要使f(x)递增,必须使2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
    解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
    ∴函数f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
    19.解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x,
    |a+b|===2|cos x|,
    ∵x∈[-,],∴cos x>0,
    ∴|a+b|=2cos x.
    (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.
    ∵x∈[-,].∴≤cos x≤1,
    ∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.
    20.解 (1)2(2cos2B-1)-8cos B+5=0,即4cos2B-8cos B+3=0,得cos B=.
    又B为△ABC的内角,∴B=60°.
    (2)∵cos θ==-,∴sin θ=.∴sin(B+θ)=sin Bcos θ+cos Bsin θ=.
    21.解 (1)由题意,得m·n=0,所以
    f(x)=cos ωx·(cos ωx+sin ωx)=+=sin(2ωx+)+.
    根据题意知,函数f(x)的最小正周期为3π.
    又ω>0,所以ω=.
    (2)由(1)知f(x)=sin(+)+,
    所以f(α+)=sin(α+)+=cos α+=.
    解得cos α=.
    因为α是第一象限角,故sin α=.
    所以====-.
    22.解 (1)因为f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),
    所以f(x)=sin 2xsin φ+cos φ-cos φ
    =sin 2xsin φ+cos 2xcos φ
    =(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)
    =cos(2x-φ).
    又函数图象过点(,),
    所以=cos(2×-φ),
    即cos(-φ)=1,
    又0<φ<π,所以φ=.
    (2)由(1)知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=cos(4x-),
    因为x∈[0,],所以4x∈[0,π],
    因此4x-∈[-,],
    故-≤cos(4x-)≤1.
    所以y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为和-.


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