数学必修41.1 任意角和弧度制练习题

第一章　三角函数　　　　　　　　　　　　　　　　

§1.1　任意角和弧度制

1．1.1　任意角

课时目标 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角.2.理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．

1．角

(1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

2.象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．

一、选择题

1．与405°角终边相同的角是(　　)

A．k·360°－45°，k∈Z        B．k·180°－45°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈Z        D．k·180°＋45°，k∈Z

2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在(　　)

A．第一或第三象限         B．第二或第三象限

C．第二或第四象限         D．第三或第四象限

3．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)

A．A＝B            B．B＝C

C．A＝C            D．A＝D

4．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)

A．第一象限角          B．第二象限角

C．第三象限角          D．第四象限角

5．集合M＝，

P＝，则M、P之间的关系为(　　)

A．M＝P           B．MP

C．MP           D．M∩P＝∅

6．已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)

A．第一或第二象限        B．第二或第三象限

C．第一或第三象限        D．第二或第四象限

二、填空题

7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．

8．经过10分钟，分针转了________度．

9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．

10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.

三、解答题

11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

能力提升

13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．

14．设α是第二象限角，问是第几象限角？

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．

2．关于终边相同角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

注意：(1)α为任意角．

(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．

(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

(4)k∈Z这一条件不能少．

第一章　三角函数

§1.1　任意角和弧度制

1．1.1　任意角

答案

知识梳理

1．(1)一条射线　端点　旋转　(2)逆时针方向旋转　顺时针方向旋转　没有作任何旋转

2．第几象限角　3.α＋k·360°，k∈Z　整数个周角

作业设计

1．C　2.A

3．D　[锐角θ满足0°<θ<90°；而B中θ<90°，可以为负角；C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；D中满足0°<θ<90°，故A＝D.]

4．C　[特殊值法，给α赋一特殊值－60°，

则180°－α＝240°，

故180°－α在第三象限．]

5．B　[对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．]

6．D　[由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，

得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.

当k为偶数时，为第二象限角；

当k为奇数时，为第四象限角．]

7．x轴的正半轴

8．－60

9．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

10．－110°或250°

解析　∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，

∴k＝－1或0.

∴θ＝－110°或250°.

11．解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

12．解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．

①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．

②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}

∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}

∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}

＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．

13．解　终边落在y＝x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在

y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，

k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

14．解　当α为第二象限角时，

90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，

∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z.

当k＝3n时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；

当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为第二象限角；

当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角．