2021学年1.1 任意角和弧度制习题

1.1.2　弧度制

课时目标　1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．

1．角的单位制

(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．

(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．

2．角度制与弧度制的换算

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则

一、选择题

1．集合A＝与集合B＝的关系是(　　)

A．A＝B        B．A⊆B

C．B⊆A        D．以上都不对

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)

A．2        B．sin 2        C.        D．2sin 1

3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是(　　)

A．1或4        B．1或2        C．2或4        D．1或5

4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　)

A．∅

B．{α|－4≤α≤π}

C．{α|0≤α≤π}

D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)

A.        B．－        C.π        D．－π

6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)

A．1∶3        B．2∶3        C．4∶3        D．4∶9

二、填空题

7．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．

8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．

9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.

10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.

三、解答题

11．把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°；(2)π；(3)－4.

12．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

能力提升

13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．

14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．

3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．

1.1.2　弧度制

答案

知识梳理

1．(1)　(2)半径长　1 rad　(3)|α|＝　终边的旋转方向　正数　负数　0

2．2π　360°　π　180°　　°

3.　αR　　αR2　lR

作业设计

1．A

2．C　[r＝，∴l＝|α|r＝.]

3．A　[设扇形半径为r，圆心角为α，

则，

解得或.]

4．C　[集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]

5．D　[∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.]

6．B　[设扇形内切圆半径为r，

则r＋＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S内切＝πr2.

S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2.

∴S内切∶S扇形＝2∶3.]

7．－10π＋π

解析　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

∴－1 485°可以表示为－10π＋π.

8．25

解析　216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.

9.π或π

解析　－π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.

10．－，－，，

解析　由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，

－2π＝－π，－4π＝－π.

11．解　(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，

∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．

(2)π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．

(3)－4＝－2π＋(2π－4)，

∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．

12．解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，

则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.

∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.

∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，

此时θ＝＝＝2 rad.

13．4

解析　设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.

∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.

14．解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．

S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°＝50 (cm2)．

(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，

∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋cR＝－(R－)2＋.

当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.