高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第1课时课后作业题

学业分层测评(十三)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)　　　　　　 　　　　　

A．4   B．1或3 

C．3   D．1

【解析】　由题意得得a＝3，故选C.

【答案】　C

2．下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝(－3)x   B．y＝－3x

C．y＝3x－1   D．y＝

【解析】　根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确．故选D.

【答案】　D

3．函数f(x)＝2|x|－1在区间[－1,2]上的值域是(　　)

A．[1,4]   B.

C．[1,2]   D.

【解析】　函数f(x)＝2t－1在R上是增函数，∵－1≤x≤2，∴0≤|x|≤2，∴t∈[0,2]，

∴f(0)≤f(t)≤f(2)，即≤f(t)≤2，∴函数的值域是，故选B.

【答案】　B

4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)

【解析】　当x≥0时，y＝a|x|的图象与指数函数y＝ax(a>1)的图象相同，当x<0时，y＝a|x|与y＝a－x的图象相同，由此判断B正确．

【答案】　B

5．如图2­1­1是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

图2­1­1

A．a＜b＜1＜c＜d   B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d   D．a＜b＜1＜d＜c

【解析】　法一　当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴，得b＜a＜1＜d＜c.

法二　令x＝1，由题图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c.

【答案】　B

二、填空题

6．指数函数f(x)＝ax＋1的图象恒过定点________．

【解析】　由函数y＝ax恒过(0,1)点，可得当x＋1＝0，即x＝－1时，y＝1恒成立，故函数恒过点(－1,1)．

【答案】　(－1,1)

7．函数f(x)＝3的定义域为________．

【解析】　由x－1≥0得x≥1，所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞)．

【答案】　[1，＋∞)

8．函数f(x)＝3x－3(1<x≤5)的值域为________．

【解析】　因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2，而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有<f(x)≤32＝9，即值域为.

【答案】　

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

【解】　(1)因为函数图象过点，

所以a2－1＝，则a＝.

(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，

由x≥0，得x－1≥－1，于是0<x－1≤－1＝2.

所以所求函数的值域为(0,2]．

10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．

(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；

(2)求f(x)的最大值与最小值.

【解】　(1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为.

(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，

故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.

[能力提升]

1．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　)

A．第一、二、三象限

B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、二、四象限

【解析】　∵a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示．

【答案】　A

2．函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是(　　)

【解析】　由函数式可知当x>0时，y＝ax(0<a<1)，当x<0时，y＝－ax(0<a<1)，由函数的图象可知，函数的大致形状是D选项．

【答案】　D

3．函数f(x)＝的值域是________．

【解析】　函数y＝f(x)＝，即有3x＝，由于3x＞0，则＞0，

解得0＜y＜1，值域为(0,1)．

【答案】　(0,1)

4．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,8)，B(3,32)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若不等式＋1－2m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

【解】　(1)把点A(1,8)，B(3,32)代入函数f(x)＝b·ax，可得得∴f(x)＝4·2x.

(2)不等式＋1－2m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，

即m≤·2＋·x＋在x∈(－∞，1]上恒成立．

令t＝x，则m≤·t2＋t＋.

记g(t)＝·t2＋t＋＝·2＋，

由x∈(－∞，1]，可得t≥.

故当t＝时，函数g(t)取得最小值为.

由题意可得，m≤g(t)min，∴m≤.