数学必修12.2.2对数函数及其性质第1课时习题

学业分层测评(十七)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题　　　 　　　　　　 　　　　　

1．已知下列函数：①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．

其中为对数函数的个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

【解析】　对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A.

【答案】　A

2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(　　)

A．(1,1)   B．(1,0)

C．(2,1)   D．(2,0)

【解析】　∵函数y＝logx恒过定点(1,0)，而y＝1＋log(x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y＝1＋log(x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C.

【答案】　C

3．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(2,3)∪(3，＋∞)   D．(2,4)∪(4，＋∞)

【解析】　要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，

所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C.

【答案】　C

4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

【解析】　函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得D正确．故选D.

【答案】　D

5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象必不过(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

【解析】　∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.

【答案】　A

二、填空题

6．函数f(x)＝的定义域是________．

【解析】　要使函数f(x)有意义，则即解得＜x≤1，故函数的定义域的.

【答案】　

7．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.

【解析】　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

则－3＝loga8，∴a＝，

∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.

【答案】　－

8．已知函数y＝log2，下列说法：

①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________.

【解析】　由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0时，y＝0，所以③正确．

【答案】　①③

三、解答题

9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数的奇偶性．

【解】　(1)要使函数有意义，则有>0，即或解得x>1或x<－1，

此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．

【解】　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∴f(－x)＝lg(1－x)．

又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，

∴f(x)的解析式为f(x)＝

∴f(x)的大致图象如图所示．

[能力提升]

1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是(　　)

A．f(x)＝x2　　　　　　 B．f(x)＝2x

C．f(x)＝log2x   D．f(x)＝eln x

【解析】　∵对数运算律中有logaM＋logaN＝logaMN，∴f(x)＝log2x，满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选C.

【答案】　C

2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

【解析】　由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.

又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．

【答案】　B

3．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．

【解析】　∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)

＝logax＋logax＋logax＋…＋logax

＝loga(x1x2x3…x2017)2

＝2loga(x1x2x3…x2017)

＝2f(x1x2x3…x2017)，

∴原式＝2×8＝16.

【答案】　16

4．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围.

【解】　由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．

要使x2<logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0<m<1.

∵x＝时，y＝x2＝，∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，

∴≤m，即≤m.

又0<m<1，∴≤m<1，

即实数m的取值范围是.