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人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试精练
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这是一份人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试精练，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )
A．至多有一个交点 B．必有唯一一个交点
C．至少有一个交点 D．没有交点
【解析】 ∵f(a)f(b)＜0，∴f(x)在[a，b]内有零点，
又f(x)在区间[a，b]上单调，所以这样的点只有一个，故选B.
【答案】 B
2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )
【解析】 要使方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，只需y＝f(x)与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故D正确．故选D.
【答案】 D
3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
【解析】 由二分法的定义与原理知A选项正确．
【答案】 A
4．函数f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)的零点个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ∵函数f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)的零点个数即为f(x)＝0的根的个数，
∴f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)＝0，即(x－1)ln(－x)＝0，
∴x－1＝0或ln(－x)＝0，∴x＝1或x＝－1，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x>0，,x－3≠0，))解得x＜0，∵函数f(x)的定义域为{x|x＜0}，∴x＝－1，即方程f(x)＝0只有一个根，∴函数f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)的零点个数为1个．故选A.
【答案】 A
5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图1所示，则下列说法正确的是 ( )
图1
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
【解析】 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.
【答案】 D
6．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(例如[2.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为多少元．( )
A．3.71 B．3.97
C．4.24 D．4.77
【解析】 由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f(5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C.
【答案】 C
7．函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】 由已知可知，函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2单调递增且连续，∵f(－2)＝－eq \f(26,9)<0，f(－1)＝－eq \f(13,6)＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝eq \f(3,2)>0，∴f(0)·f(1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.
【答案】 C
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0，))的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数有两个零点．故选C.
【答案】 C
9．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则( )
A．k＝0 B．k＞0
C．0≤k＜1 D．k＜0
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出y1＝|x|和y2＝－k的图象，如图所示．若f(x)有两个零点，则必有－k＞0，即k＜0.
【答案】 D
10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<αC．α【解析】 ∵α，β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0.
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．故选C.
【答案】 C
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－lg2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
【解析】 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而00.
【答案】 A
12．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝eq \f(x,4)，Q＝eq \f(a,2)eq \r(x)(a>0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A.eq \r(5) B．5
C．±eq \r(5) D．－eq \r(5)
【解析】 设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝eq \f(x,4)＋eq \f(a,2)·eq \r(20－x)，令y≥5，则eq \f(x,4)＋eq \f(a,2)·eq \r(20－x)≥5.∴aeq \r(20－x)≥10－eq \f(x,2)，即a≥eq \f(1,2)eq \r(20－x)对0≤x<20恒成立，而f(x)＝eq \f(1,2)eq \r(20－x)的最大值为eq \r(5)，且x＝20时，aeq \r(20－x)≥10－eq \f(x,2)也成立，∴amin＝eq \r(5).
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．
【解析】 函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.
【答案】 3
14．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq \f(3,2)，则下一个含根的区间是________．
【解析】 令f(x)＝ln x－2＋x，则f(1)＝ln 1－2＋1<0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ln eq \f(3,2)－2＋eq \f(3,2)＝ln eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝ln eq \f(3,2)－ln eq \r(e)＝ln eq \f(3,2\r(e))＝ln eq \r(\f(9,4e))∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))·f(2)<0，∴下一个含根的区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
15．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．
【解析】 设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，
则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
【答案】 14
16．已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2【解析】 ∵2∴f(2)＝lga2＋2－b<1＋2－b＝3－b<0，f(3)＝lga3＋3－b>1＋3－b＝4－b>0.
即f(2)·f(3)<0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，且x0∈(2,3)，
∴n＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
【解】 f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又m>1，所以f(m)<0，
所以f(0)·f(m)<0.
又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
故函数f(x)＝ex－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．
18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－eq \f(1,2)，求满足f(lgeq \f(1,4)x)≥0的x的取值集合. 【导学号：97030149】
【解】 ∵－eq \f(1,2)是函数的一个零点，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0.
∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，
∴当lgeq \f(1,4)x≤0，解得x≥1，当lgeq \f(1,4)x≥－eq \f(1,2)，
解得x≤2，所以1≤x≤2.
由对称性可知，当lgeq \f(1,4)x＞0时，eq \f(1,2)≤x＜1.综上所述，x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).
19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
20．(本小题满分12分)设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时，求其值域．
【解】 (1)因为f(x)的两个零点分别是－3,2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－3＝0，,f2＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a－3b－8－a－ab＝0，,4a＋2b－8－a－ab＝0，))
解得a＝－3，b＝5，f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18的对称轴x＝－eq \f(1,2)，函数开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，f(x)的最大值f(0)＝18，最小值f(1)＝12，所以值域为[12,18]．
21．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC位于直线x＝t右侧的图形的面积为f(t)．
图2
(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)画出函数y＝f(t)的图象. 【导学号：97030150】
【解】 (1)当0≤t≤2时，
f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝eq \f(3＋5×2,2)－eq \f(1,2)t·t＝8－eq \f(1,2)t2，
当2所以f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－\f(1,2)t2，0≤t≤2，,10－2t，2(2)函数f(t)图象如图所示．
22．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝(5x＋3x)×2.1＝16.8x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4，
y＝4×2.1＋3x×2.1＋3×(5x－4)＝21.3x－3.6.
当乙的用水量超过4吨时，
即3x＞4，y＝8×2.1＋3(8x－8)＝24x－7.2，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16.8x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x≤\f(4,5)))，,21.3x－3.6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)＜x≤\f(4,3)))，,24x－7.2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(4,3))).))
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,5)))时，y≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))＜40.8；
当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(4,3)))时，y≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＜40.8；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))时，令24x－7.2＝40.8，解得x＝2，
所以甲用户用水量为5x＝10吨，付费S1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)；
乙用户用水量为3x＝6吨，付费S2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
【解析】 ∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，∴∁UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝{0,2,4}．故选C.
【答案】 C
2．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ex－1，x<2，,lg32x－1，x≥2，))则f(f(2))＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ∵f(2)＝lg3(22－1)＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
【答案】 C
3．同时满足以下三个条件的函数是( )
①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数．
A．f(x)＝－(x＋1)2＋2 B．f(x)＝3|x|
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x| D．f(x)＝x－2
【解析】 A．f(x)＝－(x＋1)2＋2关于x＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.
B．f(x)＝3|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.
C．若f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|，则三个条件都满足．
D．若f(x)＝x－2，则f(0)无意义，不满足条件①.故选C.
【答案】 C
4．与函数y＝eq \r(－2x3)有相同图象的一个函数是( )
A．y＝－xeq \r(－2x) B．y＝xeq \r(－2x)
C．y＝－eq \r(2x3) D．y＝x2eq \r(－\f(2,x))
【解析】 函数y＝eq \r(－2x3)的定义域为(－∞，0]，故y＝eq \r(－2x3)＝|x|eq \r(－2x)＝－xeq \r(－2x)，故选A.
【答案】 A
5．函数f(x)＝2x－1＋lg2x的零点所在区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D．(1,2)
【解析】 ∵函数f(x)＝2x－1＋lg2x，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－1，f(1)＝1，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))f(1)＜0，故连续函数f(x)的零点所在区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，故选C.
【答案】 C
6．幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,8)))，则满足f(x)＝27的x的值是( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
【解析】 设幂函数为y＝xα，因为图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,8)))，所以有－eq \f(1,8)＝(－2)α，
解得α＝－3，所以y＝x－3，由f(x)＝27，得x－3＝27，即x＝eq \f(1,3).
【答案】 A
7．函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋lg (3x＋1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
【解析】 要使函数有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,3x＋1>0，))解得－eq \f(1,3)＜x＜1，故函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋lg (3x＋1)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)).
【答案】 A
8．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝lg0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＜a＜b B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【解析】 因为y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b，
c＝lg0.30.2＞lg0.30.3＝1，而1＝0.50＞所以b＜a＜c.故选B.
【答案】 B
9．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝lga(x＋k)的图象是( )
【解析】 由f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，所以k＝2,0【答案】 A
10．已知函数f(x)＝eq \f(1＋x2,1－x2)，则有( )
A．f(x)是奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(x)
【解析】 ∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排除A，B.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(1＋x2,x2－1)＝－f(x)，故选C.
【答案】 C
11．在y＝2x，y＝lg2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立的函数的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 在0＜x1＜x2＜1时，
y＝2x使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))y＝lg2x使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立，
y＝x2使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＜eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立．故选B.
【答案】 B
12．若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)＜0的解是( )
A．(－3,0)∪(1，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(1,3)
【解析】 ∵f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴f(x)在(－∞，0)内也是增函数．
又∵f(－3)＝0，∴f(3)＝0，∴当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)＜0；当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0.∵(x－1)·f(x)＜0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1<0，,fx>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,fx<0，))解得－3＜x＜0或1＜x＜3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点________．
【解析】 因为a0＝1，故f(2)＝a0－3＝－2，所以函数f(x)＝ax－2－3必过定点(2，－2)．
【答案】 (2，－2)
14．设A∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A共有________个．
【解析】 ∵A∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A⊆{－1,1}，
满足条件的集合A为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．
【答案】 4
15．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋eq \r(3,x))，则f(－1)＝________.
【解析】 由题意知f(－1)＝－f(1)＝－1×(1＋eq \r(3,1))＝－2.
【答案】 －2
16．下列命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)＝0；
③f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)既不是奇函数也不是偶函数；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x＋1)，则f为A到B的映射；
⑤f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
其中真命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
【解析】 ①不正确，如y＝lg|x|，其在原点处无定义，其图象不可能与y轴相交；
②正确，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－0)＝－f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0；
③不正确，∵f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)＝4x2＋3，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；
④不正确，当x＝－1时，在B中没有元素与之对应；
⑤不正确，只能说f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数．
【答案】 ②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)1.5－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)－；
(2)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)＋10lg 3.
【解】 (1)原式＝×＝2.
(2)原式＝eq \f(1,2)(lg 25－lg 72)－＋eq \f(1,2)lg (72×5)＋10lg 3＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5＋3
＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＋3＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＋3＝eq \f(7,2).
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}．
(1)若A≠∅，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解】 (1)①当a＝1时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))≠∅，合题意；
②当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)≥0，得a≥－eq \f(1,8)且a≠1.
综上所述，a的范围为a≥－eq \f(1,8).
(2)由A∩B＝A，得A⊆B.
①当A＝∅时，a＜－eq \f(1,8)，显然合题意；
②当A≠∅时，得到B中方程的解1和2为A的元素，即A＝{1,2}，
把x＝1代入A中方程，得a＝0.
综上所述，a的范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜－\f(1,8)，或a＝0)))).
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－eq \f(2,x).
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
【解】 (1)由已知得g(x)＝1－a－eq \f(2,x)，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a－\f(2,x)))，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－eq \f(2,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x2)))＝eq \f(2x1－x2,x1x2).
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而eq \f(2x1－x2,x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2mx＋m2＋4m－2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值－3，求实数m的值．
【解】 f(x)＝(x－m)2＋4m－2.
(1)由f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数得m≥1.
(2)当m≤0时，f(x)min＝f(0)＝m2＋4m－2＝－3，解得m＝－2－eq \r(3)或m＝－2＋eq \r(3).
当0＜m＜1时，f(x)min＝f(m)＝4m－2＝－3，
解得m＝－eq \f(1,4)(舍)．
当m≥1时，f(x)min＝f(1)＝m2＋2m－1＝－3，无解．
综上可知，实数m的值是－2±eq \r(3).
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lga(2x＋1)，g(x)＝lga(1－2x)(a＞0且a≠1)，
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.
【解】 (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,1－2x>0，))解得－eq \f(1,2)∴函数F(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝lga(2x＋1)－lga(1－2x)，
F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝lga(－2x＋1)－lga(1＋2x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
(3)∵f(x)－g(x)＞0，
∴lga(2x＋1)－lga(1－2x)＞0，
即lga(2x＋1)＞lga(1－2x)．
①当0＜a＜1时，有0<2x＋1<1－2x，
∴－eq \f(1,2)②当a＞1时，有2x＋1>1－2x>0，∴0综上所述，当0＜a＜1时，有x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，使得f(x)－g(x)＞0；
当a＞1时，有x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使得f(x)－g(x)＞0.
21．(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：
甲 乙
图1
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．
【解】 由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，
图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.
(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．
(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．
(3)设第m年的规模最大，总出产量为n，
那么n＝y甲y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)
＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，
因此，当m＝2时，n最大值为31.2.
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )
A．至多有一个交点 B．必有唯一一个交点
C．至少有一个交点 D．没有交点
【解析】 ∵f(a)f(b)＜0，∴f(x)在[a，b]内有零点，
又f(x)在区间[a，b]上单调，所以这样的点只有一个，故选B.
【答案】 B
2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )
【解析】 要使方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，只需y＝f(x)与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故D正确．故选D.
【答案】 D
3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
【解析】 由二分法的定义与原理知A选项正确．
【答案】 A
4．函数f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)的零点个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ∵函数f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)的零点个数即为f(x)＝0的根的个数，
∴f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)＝0，即(x－1)ln(－x)＝0，
∴x－1＝0或ln(－x)＝0，∴x＝1或x＝－1，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x>0，,x－3≠0，))解得x＜0，∵函数f(x)的定义域为{x|x＜0}，∴x＝－1，即方程f(x)＝0只有一个根，∴函数f(x)＝eq \f(x－1ln－x,x－3)的零点个数为1个．故选A.
【答案】 A
5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图1所示，则下列说法正确的是 ( )
图1
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
【解析】 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.
【答案】 D
6．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(例如[2.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为多少元．( )
A．3.71 B．3.97
C．4.24 D．4.77
【解析】 由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f(5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C.
【答案】 C
7．函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】 由已知可知，函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2单调递增且连续，∵f(－2)＝－eq \f(26,9)<0，f(－1)＝－eq \f(13,6)＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝eq \f(3,2)>0，∴f(0)·f(1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f(x)＝3x＋eq \f(1,2)x－2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.
【答案】 C
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0，))的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数有两个零点．故选C.
【答案】 C
9．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则( )
A．k＝0 B．k＞0
C．0≤k＜1 D．k＜0
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出y1＝|x|和y2＝－k的图象，如图所示．若f(x)有两个零点，则必有－k＞0，即k＜0.
【答案】 D
10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α
∴f(α)＝f(β)＝0.
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．故选C.
【答案】 C
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－lg2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0
C．恒为负值 D．不大于0
【解析】 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0
【答案】 A
12．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝eq \f(x,4)，Q＝eq \f(a,2)eq \r(x)(a>0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A.eq \r(5) B．5
C．±eq \r(5) D．－eq \r(5)
【解析】 设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝eq \f(x,4)＋eq \f(a,2)·eq \r(20－x)，令y≥5，则eq \f(x,4)＋eq \f(a,2)·eq \r(20－x)≥5.∴aeq \r(20－x)≥10－eq \f(x,2)，即a≥eq \f(1,2)eq \r(20－x)对0≤x<20恒成立，而f(x)＝eq \f(1,2)eq \r(20－x)的最大值为eq \r(5)，且x＝20时，aeq \r(20－x)≥10－eq \f(x,2)也成立，∴amin＝eq \r(5).
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．
【解析】 函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.
【答案】 3
14．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq \f(3,2)，则下一个含根的区间是________．
【解析】 令f(x)＝ln x－2＋x，则f(1)＝ln 1－2＋1<0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ln eq \f(3,2)－2＋eq \f(3,2)＝ln eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝ln eq \f(3,2)－ln eq \r(e)＝ln eq \f(3,2\r(e))＝ln eq \r(\f(9,4e))
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
15．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．
【解析】 设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，
则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
【答案】 14
16．已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2
即f(2)·f(3)<0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，且x0∈(2,3)，
∴n＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
【解】 f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又m>1，所以f(m)<0，
所以f(0)·f(m)<0.
又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
故函数f(x)＝ex－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．
18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－eq \f(1,2)，求满足f(lgeq \f(1,4)x)≥0的x的取值集合. 【导学号：97030149】
【解】 ∵－eq \f(1,2)是函数的一个零点，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0.
∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，
∴当lgeq \f(1,4)x≤0，解得x≥1，当lgeq \f(1,4)x≥－eq \f(1,2)，
解得x≤2，所以1≤x≤2.
由对称性可知，当lgeq \f(1,4)x＞0时，eq \f(1,2)≤x＜1.综上所述，x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).
19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
20．(本小题满分12分)设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时，求其值域．
【解】 (1)因为f(x)的两个零点分别是－3,2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－3＝0，,f2＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a－3b－8－a－ab＝0，,4a＋2b－8－a－ab＝0，))
解得a＝－3，b＝5，f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18的对称轴x＝－eq \f(1,2)，函数开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，f(x)的最大值f(0)＝18，最小值f(1)＝12，所以值域为[12,18]．
21．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC位于直线x＝t右侧的图形的面积为f(t)．
图2
(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)画出函数y＝f(t)的图象. 【导学号：97030150】
【解】 (1)当0≤t≤2时，
f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝eq \f(3＋5×2,2)－eq \f(1,2)t·t＝8－eq \f(1,2)t2，
当2
22．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝(5x＋3x)×2.1＝16.8x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4，
y＝4×2.1＋3x×2.1＋3×(5x－4)＝21.3x－3.6.
当乙的用水量超过4吨时，
即3x＞4，y＝8×2.1＋3(8x－8)＝24x－7.2，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16.8x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x≤\f(4,5)))，,21.3x－3.6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)＜x≤\f(4,3)))，,24x－7.2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(4,3))).))
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,5)))时，y≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))＜40.8；
当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(4,3)))时，y≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＜40.8；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))时，令24x－7.2＝40.8，解得x＝2，
所以甲用户用水量为5x＝10吨，付费S1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)；
乙用户用水量为3x＝6吨，付费S2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
【解析】 ∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，∴∁UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝{0,2,4}．故选C.
【答案】 C
2．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ex－1，x<2，,lg32x－1，x≥2，))则f(f(2))＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ∵f(2)＝lg3(22－1)＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
【答案】 C
3．同时满足以下三个条件的函数是( )
①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数．
A．f(x)＝－(x＋1)2＋2 B．f(x)＝3|x|
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x| D．f(x)＝x－2
【解析】 A．f(x)＝－(x＋1)2＋2关于x＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.
B．f(x)＝3|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.
C．若f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|，则三个条件都满足．
D．若f(x)＝x－2，则f(0)无意义，不满足条件①.故选C.
【答案】 C
4．与函数y＝eq \r(－2x3)有相同图象的一个函数是( )
A．y＝－xeq \r(－2x) B．y＝xeq \r(－2x)
C．y＝－eq \r(2x3) D．y＝x2eq \r(－\f(2,x))
【解析】 函数y＝eq \r(－2x3)的定义域为(－∞，0]，故y＝eq \r(－2x3)＝|x|eq \r(－2x)＝－xeq \r(－2x)，故选A.
【答案】 A
5．函数f(x)＝2x－1＋lg2x的零点所在区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D．(1,2)
【解析】 ∵函数f(x)＝2x－1＋lg2x，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－1，f(1)＝1，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))f(1)＜0，故连续函数f(x)的零点所在区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，故选C.
【答案】 C
6．幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,8)))，则满足f(x)＝27的x的值是( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
【解析】 设幂函数为y＝xα，因为图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,8)))，所以有－eq \f(1,8)＝(－2)α，
解得α＝－3，所以y＝x－3，由f(x)＝27，得x－3＝27，即x＝eq \f(1,3).
【答案】 A
7．函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋lg (3x＋1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
【解析】 要使函数有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,3x＋1>0，))解得－eq \f(1,3)＜x＜1，故函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋lg (3x＋1)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)).
【答案】 A
8．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝lg0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＜a＜b B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【解析】 因为y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b，
c＝lg0.30.2＞lg0.30.3＝1，而1＝0.50＞所以b＜a＜c.故选B.
【答案】 B
9．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝lga(x＋k)的图象是( )
【解析】 由f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，所以k＝2,0
10．已知函数f(x)＝eq \f(1＋x2,1－x2)，则有( )
A．f(x)是奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(x)
【解析】 ∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排除A，B.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(1＋x2,x2－1)＝－f(x)，故选C.
【答案】 C
11．在y＝2x，y＝lg2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立的函数的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 在0＜x1＜x2＜1时，
y＝2x使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))
y＝x2使feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＜eq \f(fx1＋fx2,2)恒成立．故选B.
【答案】 B
12．若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)＜0的解是( )
A．(－3,0)∪(1，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(1,3)
【解析】 ∵f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴f(x)在(－∞，0)内也是增函数．
又∵f(－3)＝0，∴f(3)＝0，∴当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)＜0；当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0.∵(x－1)·f(x)＜0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1<0，,fx>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,fx<0，))解得－3＜x＜0或1＜x＜3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点________．
【解析】 因为a0＝1，故f(2)＝a0－3＝－2，所以函数f(x)＝ax－2－3必过定点(2，－2)．
【答案】 (2，－2)
14．设A∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A共有________个．
【解析】 ∵A∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A⊆{－1,1}，
满足条件的集合A为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．
【答案】 4
15．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋eq \r(3,x))，则f(－1)＝________.
【解析】 由题意知f(－1)＝－f(1)＝－1×(1＋eq \r(3,1))＝－2.
【答案】 －2
16．下列命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)＝0；
③f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)既不是奇函数也不是偶函数；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x＋1)，则f为A到B的映射；
⑤f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
其中真命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
【解析】 ①不正确，如y＝lg|x|，其在原点处无定义，其图象不可能与y轴相交；
②正确，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－0)＝－f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0；
③不正确，∵f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)＝4x2＋3，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；
④不正确，当x＝－1时，在B中没有元素与之对应；
⑤不正确，只能说f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数．
【答案】 ②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)1.5－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)－；
(2)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)＋10lg 3.
【解】 (1)原式＝×＝2.
(2)原式＝eq \f(1,2)(lg 25－lg 72)－＋eq \f(1,2)lg (72×5)＋10lg 3＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5＋3
＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＋3＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＋3＝eq \f(7,2).
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}．
(1)若A≠∅，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解】 (1)①当a＝1时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))≠∅，合题意；
②当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)≥0，得a≥－eq \f(1,8)且a≠1.
综上所述，a的范围为a≥－eq \f(1,8).
(2)由A∩B＝A，得A⊆B.
①当A＝∅时，a＜－eq \f(1,8)，显然合题意；
②当A≠∅时，得到B中方程的解1和2为A的元素，即A＝{1,2}，
把x＝1代入A中方程，得a＝0.
综上所述，a的范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜－\f(1,8)，或a＝0)))).
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－eq \f(2,x).
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
【解】 (1)由已知得g(x)＝1－a－eq \f(2,x)，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a－\f(2,x)))，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－eq \f(2,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x2)))＝eq \f(2x1－x2,x1x2).
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而eq \f(2x1－x2,x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2mx＋m2＋4m－2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值－3，求实数m的值．
【解】 f(x)＝(x－m)2＋4m－2.
(1)由f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数得m≥1.
(2)当m≤0时，f(x)min＝f(0)＝m2＋4m－2＝－3，解得m＝－2－eq \r(3)或m＝－2＋eq \r(3).
当0＜m＜1时，f(x)min＝f(m)＝4m－2＝－3，
解得m＝－eq \f(1,4)(舍)．
当m≥1时，f(x)min＝f(1)＝m2＋2m－1＝－3，无解．
综上可知，实数m的值是－2±eq \r(3).
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lga(2x＋1)，g(x)＝lga(1－2x)(a＞0且a≠1)，
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.
【解】 (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,1－2x>0，))解得－eq \f(1,2)
F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝lga(－2x＋1)－lga(1＋2x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
(3)∵f(x)－g(x)＞0，
∴lga(2x＋1)－lga(1－2x)＞0，
即lga(2x＋1)＞lga(1－2x)．
①当0＜a＜1时，有0<2x＋1<1－2x，
∴－eq \f(1,2)
当a＞1时，有x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使得f(x)－g(x)＞0.
21．(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：
甲 乙
图1
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．
【解】 由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，
图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.
(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．
(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．
(3)设第m年的规模最大，总出产量为n，
那么n＝y甲y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)
＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，
因此，当m＝2时，n最大值为31.2.
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．
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