2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先求出集合，再根据交集的定义，即可得解.【详解】解：因为，.故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2．复数上的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】化简得到计算虚部得到答案.【详解】，所以的虚部为.故选：【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.3．若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案.【详解】∵，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故选：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.4．已知，是两个不同的平面，，，是两条不同的直线，且，，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.故选：【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.5．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为【答案】D【解析】计算得到新数据的平均数为，方差为，标准差为，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.故选：【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.6．设函数若是奇函数，则（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】先求出的值，再根据奇函数的性质，可得到的值，最后代入，可得到答案.【详解】∵是奇函数．故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.7．第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为故选：C【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题8．将曲线向左平移个单位长度，得到的曲线关于直线对称，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据相位变换规则求出变换后的解析式，由曲线关于直线对称，得到关于的关系式，即可求出最小值.【详解】解：由题意，将曲线向左平移个单位长度，可得，因为关于直线对称，所以，所以，则的最小值为.故选：C【点睛】本题考查正弦函数的相位变换，以及正弦函数的对称性，属于基础题.9．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）A．16 B．19 C．20 D．25【答案】B【解析】利用，，成等比数列求解【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：B【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题10．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】通过证明，又，可得的中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.【详解】解：因为，，，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.故选：【点睛】本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.11．已知函数，.若，，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据条件求出的值域，与的值域，由，，，可得两值域的包含关系，即可求得参数的取值范围.【详解】解：因为，，所以的值域为.因为，所以在上的值域为，依题意得，则解得.故选：C【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】设内切圆的半径为则，，·∵，∴整理得.∵为椭圆上的点，∴，解得.故选：【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.  二、填空题13．设，满足则则的最小值是______.【答案】-4【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：作出可行域如图所示， 当直线经过点时，.故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.【答案】【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.【详解】由题意可知，即对恒成立，所以，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.15．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.【答案】【解析】根据条件求出，结合向量投影的定义即可求解．【详解】解：由等面积法可得，依题意可得，，所以.故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义，属于基础题．16．在数列中，，且.（1）的通项公式为__________；（2）在、、、、这项中，被除余的项数为__________．【答案】        【解析】（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下值的个数，相加即可得出答案.【详解】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，；（2）被整除且余数为的整数可表示为，令，可得，，且，则为奇数，则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.当为的倍数时，的取值有：、、、、，共个；当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、、、、，共个.综上所述，在、、、、这项中，被除余的项数为.故答案为：；.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 三、解答题17．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数101520152010 （1）求购买金额不少于45元的频率；（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. 不少于60元少于60元合计男 40 女18  合计    附：参考公式和数据：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005  【答案】（1）（或0.5）；（2）列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；（2）完善列联表，计算出跟参考数据比较得出结论.【详解】解：（1）购买金额不少于45元的频率为.（2）列联表如下： 不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090  ，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.18．在中，角，、的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，且，求的面积.【答案】(1) . (2) 【解析】（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.【详解】（1）∵，∴.∵，∴.（2）∵∴，∴，即，即.∵，∴.∵，∴.∴.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.（1）证明：为的中点.（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.【答案】（1）见解析；（2）24【解析】（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.【详解】解：（1）证明：取的中点，连接因为，所以为的中点，又为的中点，所以.因为平面，平面，平面平面.所以，即.又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.（2）设，则，，的面积分别为，，，易知到平面的距离为，所以，解得，故所求正方体的表面积为.【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.20．已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.（1）求点的坐标；（2）当弦最长时，求直线的方程.【答案】(1) . (2) 或.【解析】（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，，代入计算得到得到答案.【详解】（1）设，，，则两式相减得.因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，所以.因为，所以，解得，所以点的坐标为.（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，则，即，所以直线的方程为.联立得，则，.由，可得，所以.设，令，可知，此时，即，所以当弦最长时，直线的方程为或.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.21．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）用表示，中的最大值，已知，求函数的零点的个数.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）零点个数为1【解析】（1）求出定义域、导函数，对分类讨论，可得单调区间；（2）由当时，，可知函数在上不存在零点，当，分别计算函数值，可知是的零点，由（1）知在上无零点.【详解】解：（1）函数的定义域为，且.当时，对恒成立，所以在上单调递增.当时，令，得，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，从而，所以在上无零点.当时，，，所以是的零点.当时，，所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.由（1）知，在上单调递减，所以，从而在上无零点综上，的零点个数为1.【点睛】本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到，解不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得，则；当时，，解得，则.综上所述：不等式的解集为.（2），当时等号成立.若对任意，不等式恒成立，即，解得或.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.