2020届福建省三明第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题

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这是一份2020届福建省三明第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题，共8页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，本试卷包括必考和选考两部分，已知，则，已知数列中，，则，已知向量，则“”是“”成立的，若实数满足约束条件则的最小值为，函数在的图象大致为，函数的最小正周期为，则满足等内容，欢迎下载使用。
三明一中2019-2020学年(上)第二次月考高三数学（文）试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集为，集合，则A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，若复数满足，则复数A． B． C． D．3．已知，则 A. B. C. D. 4．已知数列中，，则A. B. C. D. 5．在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为A. B. C. D. 6．已知向量，则“”是“”成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若实数满足约束条件则的最小值为 A. B. C. D. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. B. C. D. 9．函数在的图象大致为10．函数的最小正周期为，则满足A．在上单调递增 B．当时有最小值 C. D．图象关于直线对称 11．如图，空间四边形的对角线，M、N分别为的中点且，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 12．已知为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的方程是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．____________. 14．曲线在处的切线方程为____________．15．直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为____________． 16．在三棱锥中，底面，且三棱锥的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是____________．三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤） 17．（本小题满分12分）通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 18.（本小题满分12分）已知数列满足，且．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和． 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PNB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积． 20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.（1）当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；（2）若函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值． 21．（本小题满分12分）已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．（1）求该动圆圆心E的轨迹G的方程；（2）已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值． 22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答）（A）4－4：坐标系与参数方程已知在平面在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）直线与曲线在第一象限交于点，直线与直线交于点，求．（B）4－5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
三明一中2019-2020学年(上)第二次月考高三数学（文）试题参考答案一、选择题：（5×12=60）题号123456789101112答案B DC BA ABADBAC 二、填空题：（4×5=20）13. 14. 15. 16. 三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分） 17. 解：(1) ∵K2＝≈8.249＞6.635， ……4分∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关． ……5分(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)， ……8分设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．则P(A)＝. ……11分故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为. ……12分18.解：（1）因为，所以，即 ……4分又，所以 ……5分∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列． ……6分（2）由（1）得，所以 ……8分所以 ……10分所以 ∴数列的前n项和． ……12分 19. 解： (1)证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD. ……2分又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形， ……3分∴BN⊥AD， ……4分又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB. ……6分(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝. ……7分又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，……8分∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝. ……9分∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB. ……10分又PM＝2MC，∴VPNBM＝VMPNB＝VCPNB＝×××2＝. ……12分20. 解：（1）当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，则f′(x)＝3x2＋2x－1， ……1分由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.……5分(2)函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根．……6分令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x.由g′(x)>0，得x<－或x>0；由g′(x)<0，得－<x<0.所以函数g(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减． ……8分所以当x＝－时，函数g(x)取得极大值g＝＋b；当x＝0时，函数g(x)取得极小值为g(0)＝b. ……10分要满足题意，则需g＝＋b＝0或g(0)＝b＝0，所以b＝－或b＝0. ……12分 21.解：（1）由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，∴动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线， ……2分故轨迹G的方程是y2＝4x. ……4分(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3＜m＜0. ……5分联立消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大于零．设C(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2， ……6分∴|CB|＝·＝4.又点A到直线l′的距离d＝，∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)． ……8分令＝t，t∈(1,2)，则m＝1－t2，∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3.令f(t)＝8t－2t3,1＜t＜2，∴f′(t)＝8－6t2，易知y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减．∴y＝f(t)在t＝，即m＝－时取得最大值.∴△ABC面积的最大值为. ……12分22.（A）4－4：坐标系与参数方程解：（1）直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为 ……2分因为曲线的极坐标方程为，所以，所以，即曲线的直角坐标方程为 ……5分（2）依题意可设所以 ……6分直线化为极坐标方程为所以，即 ……8分所以 ……10分（B）4－5：不等式选讲解：（1）不等式，即当时，不等式化为，即，所以；当时，不等式化为，不可能成立，所以解集为；当时，不等式化为，即，所以；综上述，不等式的解集为． ……5分（2）恒成立，即恒成立令，则当时，所以所以实数a的取值范围是． ……10分