2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题  一、单选题1．若复数，则其虚部为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．【详解】因为复数i．所以复数的虚部1故选：A．【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解不等式得出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】,则故选：C【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．已知等比数列的各项均为正实数，其前项和为，若，，则（    ）A．32 B．31 C．64 D．63【答案】B【解析】设首项为a1，公比为q，由，又a3＝4，可得q＝2，再利用求和公式即可得出．【详解】设首项为a1，公比为q>0，由，又a3＝4，∴q＝2，又因为，所以a1＝1，所以S5＝31，故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（   ）A．4 B．-4 C．6 D．-6【答案】D【解析】函数为奇函数，则：，即当时，函数的解析式为：，，结合奇函数的性质可得：.本题选择D选项.点睛：若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0.5．已知则(  )A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，=，由的性质可得a＜c，同理可得，=，由可得c＜b，可得答案.【详解】解：由题意得：，=，在为单调递增函数，a＜c，同理可得：，=，在R上为单调递增函数，c＜b，综上，故选C.【点睛】本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小，需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.6．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx，平方利用同角三角函数的基本关系，可得sin2x的值．【详解】∵sinx+2cos2sinx+cosx+1，∴sinx+cosx，平方可得1+2sinxcosx， 则sin2x＝2sinxcosx，故选：B．【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．7．已知变量，满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，再由z的几何意义求解得答案．【详解】由变量x，y满足作出可行域如图： A（2，3），解得B（，），z的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵kDA4，kDB13．∴z的取值范围是[﹣13，﹣4]．故选：B．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（    ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.【详解】由，两边同时平方得=，则有3=4+1+2=5+22cos，∴cos，，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为：.故选A.【考点】三视图；几何体的体积.10．已知函数，若，且，则取最大值时的值为（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由，可知函数关于x对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n，然后结合，可求f（x）的表达式，进而可求【详解】∵f（x）＝sin（2x+φ），满足，函数关于x对称，根据正弦函数的性质可知，当x时，函数取得最值，∴φ，n∈z，∴φ＝n，∈z，f（x）＝sin（2x），∵，则n为偶数时满足题意，f（x）＝sin（2x），∴f（x）取最大值时，2x，k∈z，∴x＝k，故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性，及函数取得最值条件的应用，属于函数性质的综合应用．11．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角形全等可得∠ABD＝∠ACD＝90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．【详解】∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD，∴外接球的最小体积为V．故选：C．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，确定球心位置是解题的关键，属于中档题．12．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.  二、填空题13．函数在处的切线方程是____.(其中为自然对数的底数)【答案】【解析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。【详解】，故，切点为，故切线方程为，即.【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法，关键结合导数计算斜率，计算切点的坐标，计算直线方程，难度中等。14．已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为（0，b），渐近线方程为y＝bx，运用点到直线的距离公式可得b，再由离心率公式，可得所求值．【详解】设双曲线虚轴的一个端点（0，b）到它的一条渐近线y＝bx（b＞0）的距离为，可得，解得b，则双曲线的离心率e2，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．已知圆和直线，则圆上任意取一点A到直线的距离小于的概率为______．【答案】【解析】由题意，画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，利用几何概型的计算公式，即可求解.【详解】由题意，如图所示，设与直线平行的直线方程为，由O到直线的距离为，即，且，得，则,所以圆C上任取一点A到直线距离小于的概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.16．在数列的前项和为，且，，则______.【答案】1010【解析】利用递推关系推导数列的周期为4，再求和【详解】由题如此继续，则故答案为：1010【点睛】本题考查数列求和，考查归纳的数学思想，是基础题 三、解答题17．某调查机构为了解人们某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了50份进行统计，得到如下列联表： 男性女性合计使用15520不使用102030合计252550 （1）请根据调查结果分①析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加某项活动，求这2人中恰有一位女性的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828  【答案】（1）有把握认为使用该产品与性别有关；（2）【解析】（1）利用列联表求出K2，对照表格得出结论（2）先由分层抽样求出男性应抽取2人，记为，，女性应抽取4人，记为，，，，先求出基本事件总数，再求出恰有一位女性的基本事件个数，由此得出答案【详解】（1），由于，所以有把握认为使用该产品与性别有关.（2）由列联表知，不使用该产品的人数为30，其中男性10人，女性20人，按性别用分层抽样抽取6人，则男性应抽取2人，记为，，女性应抽取4人，记为，，，，从中随机抽取2人的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中恰有一位女性的情况有：，，，，，，，共8种.所以这2 人中恰有一位女性的概率为.【点睛】本题考查列联表的应用，考查概率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知，，分别是的三个内角，，的对边，且.（1）求角的值；（2）若，边上的中线的长为，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【详解】（1）由及正弦定理得：，即，即，即，因为，所以，则，又，所以.（2）在中，，，，由余弦定理得，所以，所以（负值舍去），又为中点，所以.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（1）求证：平面；（2）试确定点的位置，使三棱锥的体积为.【答案】（1）见解析；（2）点为中点【解析】（1）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解C1B，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（2）利用求解得解【详解】（1）证明：∵，，，∴由余弦定理知，∴，即.∵侧面，侧面，∴.又，∴平面.（2）由题意知，又侧面，所以，即.易知，等腰直角三角形中，，所以，所以当点为中点时三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在区间上没有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的单调区间；（2）函数g（x）在区间上没有零点，只需在上在上恒成立，分离参数，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【详解】（1）由题意知函数的定义域为，，令得，令得，所以函数的单调增区间为，单调递减区间为.（2）由题意知若，因为在区间上没有零点，所以在上恒成立，由，得，令，则.当时，，所以在上单调递减，所以时，，所以，即，所以实数的取值范围.【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，注意有解问题分离参数是常用的方法．21．已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解k的范围（2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得AB方程，与椭圆联立得，则可求【详解】（1）设，，则，，两式相减得：，由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，设其斜率为，由式得，即.由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得.又，所以斜率的取值范围为.（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，所以，，设，则，，，，同理可得，因为点在椭圆上，所以，解得.当时，，直线的方程为，代入得，由根与系数关系得.则.由对称性知，当时也成立，.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键，是中档题22．已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.【答案】（1）直线：，曲线：；（2）【解析】（1）利用 化极坐标方程；（2）由题极坐标方程为：，进而得，，利用面积公式求解即可【详解】（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，设，，则，，所以的面积.【点睛】本题考查极坐标与普通方程的应用，考查极坐标的几何意义，考查面积公式，准确应用几何意义是关键，是基础题23．已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，，分类讨论，即可求解不等式的解集；（Ⅱ）把不等式都成立，转化为恒成立，分类讨论即可求解．【详解】（Ⅰ）由题意，当时，，故或或，解得：或，故不等式的解集是； （Ⅱ）若对任意，不等式都成立，则恒成立，当时，恒成立，故，解得：，当时，，解得：，综上，．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．