2020届广西壮族自治区南宁市高三上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2020届广西壮族自治区南宁市高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}

【答案】D

【解析】解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.

【详解】

因为集合

，

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2．若复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先化简得再求得解.

【详解】

所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（    ）

A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数

【答案】A

【解析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.

【详解】

由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.

本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，

根据方差公式可知方差不变.

故选：A

【点睛】

本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4．函数在上的零点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】由，解得：或，解出满足条件的值.

【详解】

令，得或，即或，

，

，共有5个零点，

所以函数在上有5个零点.

故选：C

【点睛】

本题考查判断函数的零点个数，意在考查计算能力，属于基础题型.

5．某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试（试卷满分为100分）的成绩中各随机抽取了3份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示、若分别从（1）班、（2）班的样本中各随机抽取一份，则（2）班成绩更好的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】列举所有的情况，并计算其中满足条件的基本事件个数，按古典概型计算结果.

【详解】

分别从（1）班、（2）班的样本中任取一份，包含，，，，共有9种情况，

其中（2）班成绩更好的包含共3种，

则所求概率为.

故选：B

【点睛】

本题考查古典概型，意在考查基本模型和计算，属于基础题型.

6．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（    ）

A．9 B．27 C．81 D．

【答案】A

【解析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.

【详解】

设等比数列的公比为q.

由，得，解得或.

因为.且数列递增，所以.

又，解得，

故.

故选：A

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A．2 B．3 C．-2 D．-3

【答案】B

【解析】根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.

【详解】

因为，所以

所以，

又也在直线上，

所以，

解得

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.

【详解】

由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设.则.

故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】模拟程序框图运行分析即得解.

【详解】

；

；.

所以①处应填写“”

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．已知命题，命题q：在中，若,则.下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别判断两个命题的真假，然后再判断“或，且，非”命题的真假.

【详解】

恒成立，无实数根，

∴命题p是假命题.

又，根据正弦定理 ,知，大边对大角，可得，

∴命题q是真命题.

综上，可知为真命题.

故选：C

【点睛】

本题考查复合命题真假的判断，属于基础题型，本题的关键是判断两个命题的真假.

11．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，

设，得，求出的值，即得解.

【详解】

设双曲线C的左焦点为，连接，

由对称性可知四边形是平行四边形，

所以，.

设，则，

又.故，

所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.

【详解】

由题得函数的定义域为.

因为，

所以为上的偶函数，

因为函数都是在上单调递减.

所以函数在上单调递减.

因为，

所以，且，

解得.

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题

13．已知向量，且，则m=____________.

【答案】

【解析】首先求和的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示求的值.

【详解】

因为，所以 ，.

因为，所以，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示求参数，属于计算问题，基础题型.

14．已知等差数列的前n项和为，且，则______.

【答案】108

【解析】由等差数列的前项和公式，和公式直接代入求解.

【详解】

由等差数列的前n项和公式，得.

故答案为：108

【点睛】

本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题型.

15．已知分别是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为____________.

【答案】

【解析】设，求出，，在中.. 在中，，得即得椭圆的离心率.

【详解】

设，则 ，

由，

得.

在中..

在中，，得

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质，考查余弦定理解三角形和椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.

【答案】

【解析】如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.

【详解】

如图，连接，

因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，

所以，平面，

则平面.因为，

所以同理得平面，又.

所以平面平面EFG.

因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.

在中，，

故当时.线段的长度最小，最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题

17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

（1）求样本平均数的大小；

（2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.

【答案】（1）66.5  （2）属于

【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出，即可判断得解.

【详解】

（1）

（2）

所以该零件属于“不合格”的零件

【点睛】

本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．如图，在三棱柱中， 平面ABC.

（1）证明：平面平面

（2）求三棱锥的表面积.

【答案】（1）证明见解析   （2）

【解析】（1）要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，根据条件转化为证明平面，再转化为证明和；

（2）根据（1）的垂直关系，计算各个棱长，分别求四个面的面积.

【详解】

（1）证明：因为平面ABC，所以

因为.所以.即

又.所以平面

因为平面.所以平面平面

（2）解：因为⊥平面ABC，所以

则，又，所以是等边三角形，故

又

所以三棱锥的表面积为

【点睛】

本题考查面面垂直的证明和计算几何体表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.

19．分别为的内角的对边.已知.

（1）若，求；

（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；

（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，

结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．

【详解】

（1）由，得，

即.

因为，所以.

由，得.

（2）因为，

所以，当且仅当时，等号成立.

因为的面积.

所以当时，的面积取得最大值，

此时，则，

所以的周长为.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．

20．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求m的值.

【答案】（1）详见解析  （2）

【解析】（1），分，和三种情况讨论求函数的单调区间；

（2）由（1）可知，在上单调递减，上单调递增，根据单调性求最值，根据条件列方程求的值.

【详解】

解：（1）

若当时，；

当时.，所以在上单调递增，在上单调递减

若.在R上单调递增

若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减

（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增

则

又，所以

所以，故

【点睛】

本题考查利用导数讨论函数的单调性，和利用单调性求函数的最值，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于导数里的基础题型.

21．如图,已知抛物线E:y2=4x与圆M:(x3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D四个点.

(1)求r的取值范围;

(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时,求直线AD与直线BC的交点P的坐标.

【答案】(1) r∈(2,3). (2) (,0).

【解析】(1)联立抛物线与圆的方程，利用判别式与韦达定理列不等式组，从而可得结果；(2)根据S=(+)·(x2x1)=(4+4)(x2x1)，利用韦达定理将S表示为关于r的函数，换元后利用导数可求当S最大时直线AD与直线BC的交点P的坐标.

【详解】

(1)联立抛物线与圆的方程

消去y,得x22x+9r2=0.

由题意可知x22x+9r2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,

所以解得2<r<3,即r∈(2,3).

(2)根据(1)可设方程x22x+9r2=0的两个根分别为x1,x2(0<x1<x2),

则A(x1,2),B(x1, 2),C(x2, 2),D(x2,2),且x1+x2=2,x1x2=9r2,

所以S=(+)·(x2x1)=(4+4)(x2x1)

=2·=2·.

令t=∈(0,1),f(t)=S2=4(2+2t)(44t2)= 32(t3+t2t1),

f'(t)= 32(3t2+2t1)= 32(t+1)(3t1),可得f(t)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,即当t=时,四边形ABCD的面积取得最大值.

根据抛物线与圆的对称性,可设P点坐标为(m,0),由P,A,D三点共线,可得=,整理得m==t=,

所以点P的坐标为(,0).

【点睛】

本题主要考查抛物线与椭圆的位置关系，及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法（结合导数）以及均值不等式法求解.

22．在直角坐标系中，已知圆，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长.

（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；

（2）过原点作两条互相垂直的直线，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值.

【答案】（1），   （2）

【解析】先求出，再求圆的半径和极坐标方程；（2）设    求出,,再求出

得解.

【详解】

（1）将化成直角坐标方程，得

则，故，

则圆 ，即，

所以圆M的半径为.

将圆M的方程化成极坐标方程，得.

即圆M的极坐标方程为.

（2）设，

则,

用代替.可得,

【点睛】

本题主要考查直角坐标和极坐标的互化，考查极径的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

23．已知正实数满足 .

（1）求 的最小值.

（2）证明：

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.

（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.

【详解】

（1）因为 ，所以

因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），

所以

（2）证明：

因为 ，所以

故 （当且仅当 时，等号成立）

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.