2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考（12月）数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考（12月）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用集合交集的定义及其运算即可.

【详解】

集合，，则.

故选：A

【点睛】

本题考查集合交集的定义及其运算，属于基础题.

2．已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】利用复数代数形式的除法运算化简求出z即可.

【详解】

复数满足，∴，

则在复平面内对应的点的坐标为（2，-3），位于第四象限．

故选：D．

【点睛】

本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

3．执行如图所示的程序框图，输出的　　

A．25 B．9 C．17 D．20

【答案】C

【解析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．

【详解】

按照程序框图依次执行为，，；

，，；

，，，

退出循环，输出．故应选C．

【点睛】

解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

4．某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.

详解：因为分层抽样的抽取比例为，

所以初中生中抽取的男生人数是人.

本题选择A选项.

点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

(1) ；

(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

5．已知，且，则（     ）

A． B．7 C．或－7 D．或7

【答案】D

【解析】由题意按和分类讨论得，进而得的值即可.

【详解】

已知，且，当，∴cosα＝＝，

则，∴；

当，∴cosα＝＝，则，∴；

综上：或7

故选：D

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式的合理运用，分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，属于基础题．

6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由面面平行的判定定理得：“”能得“且”，由“且”不得“”，进而得到答案.

【详解】

，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”得“且”，

根据面面平行的判定定理得“且”不能得“”，所以“”是“且”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．

7．    如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f(x)在区间内单调递增；

②函数y＝f(x)在区间内单调递减；

③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；

⑤当x＝时，函数y＝f(x)有极大值．

则上述判断中正确的是(　　)

A．①② B．②③

C．③④⑤ D．③

【答案】D

【解析】对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；

对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确；

对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；

对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；

对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确．

故选D．

8．刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，再根据长方体的性质，即可求解的球的半径，利用体积公式，即可求解．

【详解】

由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，

由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，

∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，

∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，

∴外接球的体积为.

故选B．

【点睛】

本题主要考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用问题，其中解答中根据三视图换原几何体，以及根据三视图的数量关系，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，及运算与求解能力，属于中档题．

9．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】的轨迹为圆，考虑该圆和直线有公共点（即相交或相切）可得实数的取值范围.

【详解】

设，则

由得，因在直线上，故圆心到直线的距离

，故，故选C.

【点睛】

此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：

（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；

（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．

10．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为（     ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】设等轴双曲线C：y2-x2＝a2（a＞0），的准线l：＝﹣2，由C与抛物线的准线交于A，B两点，且，求出A，B的坐标能求出C的实轴长．

【详解】

设等轴双曲线C：y2-x2＝a2（a＞0），的准线l：＝﹣2，

∵C与抛物线的准线l：＝﹣2交于A，B两点，且，

∴A（﹣，-2），B（，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得a2＝1，∴a＝1．

所以实轴长为2.

故选：C．

【点睛】

本题考查双曲线、抛物线的性质和应用，合理地进行等价转化，属于基础题．

11．一个圆锥的母线长为，且母线与底面所成角为，则该圆锥内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再由球的表面积公式得答案．

【详解】

作出圆锥截面图如图所示，∵母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，∴圆锥底面半径与高均为．

设内切球的半径为r，则利用轴截面的等面积可得

∴r＝，∴该圆锥内切球的表面积为4π×＝．

故选：B．

【点睛】

本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题．

12．已知是定义在上的函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知条件，构造函数，求导得在上递增，又，得在上是偶函数.不等式化简为，得，计算即可.

【详解】

当时，满足，则，构造函数，则，

所以在上递增.且在上成立，又，

所以，所以在上是偶函数.

则不等式化简为，

所以，

得，所以，计算得.

故选：B

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

二、填空题

13．设函数，则的值为________.

【答案】

【解析】利用函数的性质得f （5）＝f（2）＝f（﹣1），由此能求出f（5）的值．

【详解】

∵函数，

∴f （5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1．

故答案为．

【点睛】

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．已知向量，，若向量，反向，则实数的值为______.

【答案】

【解析】由题意存在实数k使，得，解得的值即可.

【详解】

已知向量，，若向量，反向，

则存在实数k使，所以，即

解得（舍）或，进而.

故答案为：-2

【点睛】

本题考查实数值的求法，注意向量共线的性质的合理运用，属于基础题．

15．已知角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的正半轴，终边上有一点的坐标为，则______.

【答案】

【解析】根据三角函数的定义，求出，，利用诱导公式即可求解.

【详解】

由题意有，，

则.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.

16．若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”若各项均为正数的等比数列是一个“2020积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时，的最大值为______.

【答案】1010

【解析】利用新定义，求得数列{an}的第1009项为1，再利用a1＞1，q＞0，即可求得结论．

【详解】

由题意，a2020＝a1a2…a2020，∴a1a2…a2019＝1，

∴a1a2019＝a2a2018＝a3a2017＝…＝a1009a1011＝a1009＝1，∵a1＞1，q＞0，

∴a1008＞1，a1009=1，a10101，∴前n项积最大时n的值为1010．

故答案为：1010

【点睛】

本题考查等比数列前n项的乘积取最大值时n的值的求法，考查等比数列的性质等基础知识、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．

三、解答题

17．的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角；

（2）若，且外接圆的半径为1，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由诱导公式和正弦定理，对化简得，从而得，进而得角；

（2）由题意得外接圆的半径，由正弦定理和（1）得，由余弦定理得，，从而得，再利用三角形面积公式计算即可.

【详解】

（1）∵，∴，

由正弦定理得，，

∴，又，∴，∴，又，∴.

（2）设外接圆的半径为，则，由正弦定理和（1）得，

由余弦定理得，且，即，∴，

∴的面积.

【点睛】

本题考查了正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，也考查了诱导公式和三角形外接圆半径的转化，属于基础题.

18．设数列的前项和为，且，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）令，由计算出的值，再令，由计算出，再验证是否满足的表达式，由此可得出数列的通项公式；

（2）由题意得出，然后在等式两边同时除以可得出，可知数列是以为公差的等差数列，由此求出数列的通项公式，可解出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.

【详解】

（1）当时，；

当时，.

也适合，因此，数列的通项公式为；

（2），在等式两边同时除以得，且.

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

.

，

得，

上式下式得，

因此，.

【点睛】

本题考查由前项和求数列通项，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前项和求数列通项时，一般利用公式来计算，但需对是否满足的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.

19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.

（1）证明：平面；

（2）若四棱锥的体积为，求的面积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可；

（2）取AD的中点M，连接PM，CM．证明CM⊥AD．再由已知证明PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，可得PM⊥CM，设，则，，，，，取CD的中点N，连接PN，得PN⊥CD，且PN＝，由四棱锥的体积为，求得x＝2．进而得到的面积.

【详解】

（1）在平面内，因为，所以.

又平面，平面，故平面.

（2）取的中点，连接，，由，及，，

得四边形为正方形，则，因为侧面是等边三角形且垂直于底面，

平面平面，所以，因为平面，所以平面.

因为平面，所以.设，则，，，，.

因为四棱锥的体积为，所以，所以，

取的中点，连接，则，所以.

因此的面积.

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积和三角形面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．

20．已知抛物线，直线与相交所得的长为8．

求的值；

过原点O直线与抛物线交于点，与直线交于H点，过点H作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点．

【答案】（1）（2）见证明

【解析】直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出的值；由可得，设，求出点的坐标，利用两点式可表示出直线的方程，从而可求得直线过定点．

【详解】

由，消x可得，

，，

弦长为，

解得或舍去，

，

由可得，

设，

直线OM的方程，

当时，

，

代入抛物线方程，可得，

，

直线MN的斜率，

直线MN的方程为，整理可得，

故直线MN过点．

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.

21．已知函数．

（1）求在点处的切线方程；

（2）求证：在上仅有个零点．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出和，然后利用点斜式写出所求切线的方程；

（2）利用当时，来说明函数在上没有零点，并利用函数的单调性和零点存在定理证明出函数在区间上有且只有一个零点，并结合，可证明出函数在区间上有两个零点.

【详解】

（1），则，，.

因此，函数在点处的切线方程为，即；

（2）当时，，此时，，所以，函数在区间上没有零点；

又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.

，构造函数，则，

当时，，

所以，函数在区间上单调递增，

，，由零点存在定理知，存在，使得，且当时，，当时，.

所以，函数在处取得极小值，则，

又，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点.

综上所述，函数在区间上有且仅有两个零点.

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程，以及利用导数研究函数零点个数问题，一般对于函数的零点个数问题，常利用单调性与零点存在定理来解决，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

22．在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.

【答案】（1）；（2）2

【解析】（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．

【详解】

（1）圆C的普通方程为，又，

所以圆C的极坐标方程为.

（2）设，则由解得，，得；

设，则由解得，，得；

所以

【点睛】

本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最大值为，、、为正数且，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）分、、去绝对值，分段解不等式，可得出该不等式的解集；

（2）由（1）可将函数表示为分段函数，可求出函数的最大值为，可得出，然后利用柯西不等式得出，由此可证明出.

【详解】

（1）当时，，由，得，

解得，此时；

当时，，由，得，

解得，此时；

当时，，此时不等式无解.

综上所述，不等式的解集为；

（2）由（1）可知.

当时，；当时，；当时，.

所以，函数的最大值为，则.

由柯西不等式可得，即，

即，当且仅当时，等号成立.

因此，.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.