2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题

这是一份2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

阶段性测试（三）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据，，…，的方差，其中．
锥体的体积，其中S为底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1. 设全集{1，2，3，4，5}．若{1，2，5}，则集合 ▲ ．
2. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的实部是 ▲ ．
3. 已知样本数据的方差为2，则数据的方差为 ▲ ．
S←0
For i From 1 To 10 Step 1
S←S＋
End For
Print S
（第4题）
4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．




5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．
6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．
7. 将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值
为 ▲ ．
8. 设定义在上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数的取值范围是 ▲ ．
9. 在锐角三角形中，若，，则的值为 ▲ ．
10. 设Sn为数列的前n项和．若Sn＝nan－3n(n－1)（n∈N*），且，则S20的值为 ▲ ．
11. 设正实数x，y满足，则实数x的最小值为 ▲ ．
D1








（第12题）


12. 如图，正四棱柱的体积为27，点，
分别为棱，上的点（异于端点），且，
则四棱锥的体积为 ▲ ．
13．已知向量，，满足，且与的夹角的
正切为，与的夹角的正切为，，则的
值为 ▲ ．
14．已知，，若同时满足条件：①R，或；②，，则实数m的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知△ABC的面积为，且，向量和
是共线向量.
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的三边长.

E
F
A
B
C
D
P
（第16题）
16．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面为矩形，且
AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，PA⊥DE．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PDE．

17．（本题满分14分）
如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．
（1）求有轨观光直路AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6 百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，
A
O
B
P
Q
M
N
（第17题）
(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以(百米/分钟)的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．








18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：过点，其离心率等于．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且MA交椭圆E于点P．
①求证：为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．

19．（本题满分16分）
已知数列满足：（常数k＞0），（n≥3，）．数列满足：（）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数? 若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由．








20．（本题满分16分）
设函数f (x)＝(x－a)lnx－x＋a，a∈R．
（1）若a＝0，求函数f (x)的单调区间；
（2）若a＜0，且函数f (x)在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t，t＋a)， f (x)＜a－1．


数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1. 【答案】{3，5}
2. 【答案】3
3. 【答案】8
4. 【答案】
5. 【答案】
6. 【答案】y＝±3x
7. 【答案】4
8. 【答案】（1，2）
9. 【答案】79
10. 【答案】1 240
11. 【答案】
12. 【答案】9
13．【答案】
14．【答案】

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
解：（1）因为向量和是共线向量，
所以， ……2分
即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0，
化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－2cosC)=0. ……4分
因为，所以sinC>0，从而， ……6分
（2），于是AC. ……8分
因为△ABC的面积为，所以，
即，解得 …… 11分
在△ABC中，由余弦定理得

所以 …… 14分



16．（本题满分14分）
证明：（1）取PD中点G，连AG，FG，
因为F，G分别为PC，PD的中点，
所以FG∥CD，且FG＝CD． ……2分
又因为E为AB中点，所以AE//CD，且AE＝CD． ……4分
所以AE//FG，AE＝FG．故四边形AEFG为平行四边形．
所以EF//AG，又EF平面PAD，AG平面PAD，
故EF//平面PAD． ……6分
（2）设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点得＝＝，
又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AG＝AC＝．
所以＝＝，又∠BAD为公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC． ……10分
又DE⊥PA，PA∩AC＝A，
所以DE⊥平面PAC． ……12分
又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． ……14分
17．（本题满分14分）
解：（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则由题设得：A(6，0)，直线ON的方程为．
由，解得，所以． ……2分
故直线AQ的方程为，
由得
即，故， …… 5分
答：水上旅游线的长为km． ……6分
（2）将喷泉记为圆P，由题意可得P(3，9)，
生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，
则BC＝t，0≤t≤9，所以C(－3＋t，9－t)．
若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，
即PC2＝(6－t)2＋t2＝2t2－12t＋36＞4at， ……10分
当t＝0时，上式成立，
当t∈(0，9]时，2a＜t＋－6，(t＋－6)min＝6－6，当且仅当t＝3时取等号，
因为a∈(0，1)，所以r＜PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分
答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分
18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以且，
解得
所以椭圆的方程为； ……4分
（2）设，，
①易得直线的方程为：，
代入椭圆得，，
由得，，从而， ……8分
所以
． ……10分
②直线过定点，理由如下：
依题意，，
由得，，
则的方程为：，即，
所以直线过定点． ……16分
19．（本题满分16分）
解：（1）由已知得，，
所以，． ……2分
（2）由条件可知：，①
所以.② ……4分
①－②得.
即：．
因此：， ……6分
故，又因为，，
所以． ……8分
（3）假设存在，使得数列的每一项均为整数，则k为正整数． ……10分
由（2）知ƒ
由，所以k=1或2， ……12分
检验：当时，为整数，
利用结合ƒ，{an}各项均为整数； ……14分
当时ƒ变为
消去得：
由所以偶数项均为整数，
而，所以为偶数，故，故数列是整数列.
综上所述，的取值集合是. ……16分
20．（本题满分16分）
解：（1）当a＝0时，f(x)＝xlnx－x，f’(x)＝lnx，
令f’(x)＝0，x＝1，列表分析
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f’(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减

单调递增
故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分
（2）f(x)＝(x－a)lnx－x＋a，f’(x)＝lnx－，其中x＞0，
令g(x)＝xlnx－a，分析g(x)的零点情况．
g’(x)＝lnx＋1,令g’(x)＝0，x＝，列表分析
x
(0，)

(，＋∞)
g’(x)
－
0
＋
g(x)
单调递减

单调递增
g(x)min＝g()＝－－a， ……5分
而f’()＝ln－ae＝－1－ae，＝－2－ae2＝－(2＋ae2)，
f’(e2)＝2－＝(2e2－a)，
①若a≤－，则f’(x)＝lnx－≥0，
故f(x)在内没有极值点，舍；
②若－＜a＜－，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)＞0，
f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在有两个零点，设为，，
所以当时，f(x)单调递增，当时，f(x)单调递减，
当时，f(x)单调递增，此时f(x)在内有两个极值点；
③若－≤a＜0，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)≤0，
f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在有一个零点，f(x)在内有一个极值点；
综上所述，实数a的取值范围为(－，－)． ……10分
（3）存在：x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1恒成立． ……11分
证明如下：
由（2）得g(x)在(，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝－a＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a．
因为当x＞1时，lnx＞1－(*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－)－a＝0．
故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x0．
由
x
(1，x0)
x0
(x0，1＋a)
f’(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减

单调递增
知，x∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……13分
又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x＞1时，lnx＜x－1(**)，
所以f(1＋a)＜(a＋1)－1－1＝a－1＝f(1)．
即x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1．
所以对任意的正数a，都存在实数t＝1，使对任意的x∈(t，t＋a)，使 f(x)＜a－1． ……15分
补充证明（*）：
令F(x)＝lnx＋－1，x≥1．F’(x)＝－＝≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．
所以x＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx＞1－．
补充证明（**）
令G(x)＝lnx－x＋1，x≥1．G’(x)＝－1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．
所以x＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx＜x－1． ……16分
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A． 选修4－2：矩阵与变换
【解】由特征值、特征向量定义可知，A，
即，得 ……5分
同理可得 解得．
因此矩阵A． ……10分

B．解：因为A( 1， )，B( 9， )，
所以线段AB的中点坐标为(5，)， ……2分
设点P(ρ，θ)为直线l上任意一点，
在直角三角形OMP中，ρcos(θ－)＝5，
所以，l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝5， ……6分
令θ＝0，得ρ＝10，即C(10，0)． …… 8分
所以，△ABC的面积为：×(9－1)×10×sin＝20． ……10分
C．证明：因为|a＋b|≤2，所以
|a2＋2a－b2＋2b|＝|a＋b||a－b＋2|
＝|a＋b||2a－(a＋b)＋2|
≤|a＋b|(|2a|＋|a＋b|＋2)
≤4(|a|＋2)． ……10分

22．解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
因为＝λ，所以C(λ，2，0)， ……2分





（第22题）



（1）从而＝(λ，2，－2)，＝(－1，2， 0)，
则cos＜，＞＝＝＝，
解得λ＝2； …… 5分
（2）易得＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即x＋y－z＝0，且y－z＝0，
所以x＝0，不妨取y＝z＝1，
则平面PCD的一个法向量n＝(0，1，1)， …… 8分
又易得＝(1，0，－2)，
故cos＜，n＞＝＝＝－，
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． ……10分
23．(本小题满分10分)
解：（1）S1＝Ca1＝1，S2＝Ca1＋Ca2＝3． ……2分
（2）记a＝，b＝．
则Sn＝C(αi－βi)＝C(αi－βi)＝(Cαi－Cβi)
＝[(1＋a)n－(1＋b)n]＝[()n－()n]． ……6分
因为()×()＝1．
故Sn＋2＝{[()n＋1－()n＋1][ ()＋()]－[()n－
()n]}＝3Sn＋1－Sn．
所以存在，使得恒成立． ……10分