2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题（解析版）

2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.

【详解】

解：当，即时，，故命题甲可推出命题乙；

当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲,

故命题甲是命题乙的充分非必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.

2．已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.

【详解】

解：函数的图像经过点，则函数的图像经过点，

则函数的图像一定经过点，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题

3．以抛物线的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中的关系，再根据长轴长可得椭圆，进而可求出，即可得椭圆的标准方程.

【详解】

解：有已知抛物线的焦点为，设椭圆方程为，

则，又由已知，

所以，

故椭圆方程为，

故选：C.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.

4．动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先根据题意：已知时间时，点的坐标是，得，再依据每12秒运动一周得出点每秒旋转的角度，从而秒旋转，利用三角函数的定义即可得出关于的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.

【详解】

解：根据题意，

得，点每秒旋转，
所以秒旋转，，
则．

令，

解得：，

经检验：当时，，故D符合，
故选：D．

【点睛】

本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

二、填空题

5．若集合，集合，则________

【答案】

【解析】直接利用交集的概念运算即可.

【详解】

解：由已知，

故答案为：

【点睛】

本题考查交集的运算，是基础题.

6．________

【答案】

【解析】将原式变形为，进而直接求极限即可.

【详解】

解：，

故答案为：

【点睛】

本题考查极限的求法，是基础题.

7．已知复数满足（为虚数单位），则        .

【答案】.

【解析】试题分析：因为，所以，也可利用复数模的性质求解：

【考点】复数的模

8．若关于、的方程组为，则该方程组的增广矩阵为________

【答案】

【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵.

【详解】

解：由题意可得方程组的增广矩阵为，

 故答案为：.

【点睛】

本题考查增广矩阵的定义，是基础题.

9．设是等差数列，且，，则________

【答案】

【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出.

【详解】

解：设等差数列的公差为，则

，又，

，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.

10．在的二项展开式中，常数项的值为__________

【答案】15

【解析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.

【详解】

二项展开式通项为：

当时，

常数项为：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.

【答案】

【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.

【详解】

由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，

根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.

【点睛】

本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

12．已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为________（结果用数值表示）

【答案】

【解析】首先找到使幂函数为偶函数的所有，然后利用概率公式求解即可.

【详解】

解：要幂函数为偶函数，则，

故使幂函数为偶函数的概率为，

故答案为：

【点睛】

本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.

13．在△中，边、、满足，，则边的最小值为________

【答案】

【解析】利用和余弦定理得出，利用条件求出的最大值，代入，即可得边的最小值.

【详解】

解：由已知

，

，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.

14．若函数存在零点，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】将函数存在零点转化为图像有交点，作出图像，观察图像得出实数的取值范围.

【详解】

解：设，

则函数存在零点等价于图像有交点，

如图：

函数的图像恒过点，当其和函数的图像相切时，

，

所以的图像有交点时，

故答案为：

【点睛】

本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.

15．已知数列，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为________

【答案】

【解析】由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得恒成立，转化为最值问题可得实数的取值范围．

【详解】

解：由题意数列中，，

即

则有

则有

又对于任意的，，不等式恒成立，

即对于任意的恒成立，

，恒成立，

∴，

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将变形为．

16．如果方程组有实数解，则正整数的最小值是___

【答案】

【解析】当时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从开始分析，当，我们可以取使，得出方程组的实数解，进而可得正整数的最小值.

【详解】

如果，对于方程组

用方程（2）减去方程（1）的45倍，得

  （3）

（3）式的左端的绝对值不大于，

因此（3）式不可能成立，故原方程组当时无解；

∴从开始分析，

当，我们可以取使

则

时，

故答案为：90.

【点睛】

本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.

三、解答题

17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点.

（1）求证：；

（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为30°.

【答案】（1）证明见解析（2）当时，与平面所成角的大小为

【解析】（1）连结，通过证明平面，即可得.另外可以利用空间向量证明线线垂直；

（2）由⊥平面可得与平面所成角为，，在中可求出值，即可得到点的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.

【详解】

（1）证明：连结，因为四边形为正方形，

所以，，

又因为⊥平面，平面，

所以．由平面．

又因为平面，所以．

（2）解法一：设，因为⊥平面，

所以与平面所成角为

在中，由．

所以，当时，与平面所成角的大小为．

解法2：（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系．

，，，．

设,则

则，

因为，

所以;

（2）取平面的一个法向量为

因为，可知直线的一个方向向量为．

设与平面所成角为，由题意知．与所成的角为，

则，

因为，所以，，

解得，．

当时，与平面所成角的大小为．

【点睛】

本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题.

18．已知函数.

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）在△中，，若函数的图像经过点，求△的面积.

【答案】（1）周期，单调递增区间（2）

【解析】（1）将函数整理为，进而可求出周期，令，求出的范围，即可得函数的单调递增区间；

（2）由函数的图像经过点可求出，再根据，可求出，利用面积公式即可求出△的面积

【详解】

解：（1）由已知

令，

得

所以函数的单调递增区间为；

（2）由已知，

又，



【点睛】

本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.

19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出户（，）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.

（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？

（2）若一年后，该村平均每户的年收入为（万元），问的最大值是否可以达到2.1万元？

【答案】（1）至少抽出户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到万元，详见解析

【解析】（1）首先得出种植户的平均收入，得不等式，解不等式即可得出答案;

（2）得出该村平均每户的年收入为，利用二次函数的性质求出最大值.

【详解】

（1）经过三年，种植户的平均收入为

因而由题意，得

由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作.

（2）

对称轴，

因而当时，可以达到万元．

【点睛】

本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.

20．已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点.

（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；

（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；

（3）过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实数的取值集合，如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，实数的取值集合为

【解析】（1）求出曲线的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；

（2）设，，表示出直线的斜率，根据的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；

（3）直接求出当直线，直线和当直线，直线时，的值，当时，与双曲线联立可得，利用弦长公式求出和，利用列方程求出的值，验证判别式成立即可得出结果.

【详解】

（1）曲线的焦点为，渐近线方程，

由对称性，不妨计算到直线的距离，.

（2）设，，从而

又因为点在第一象限，所以，

从而，

所以直线倾斜角的取值范围是；

（3）当直线，直线

，

当直线，直线时，

不妨设，与双曲线联立可得，

由弦长公式，

将替换成，可得

由，可得，

解得，此时成立．

因此满足条件的集合为

【点睛】

本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.

21．定义（，）为有限实数列的波动强度.

（1）求数列1，4，2，3的波动强度；

（2）若数列，，，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；

（3）设数列，，，是数列，，，，的一个排列，求的最大值，并说明理由.

【答案】（1）（2）是正确的，详见解析（3）当为偶数时，，；当为奇数时，，

【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；

（2）作差，利用或判断正负即可；

（3）设，，是单调递增数列，可整理，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0，分的奇偶性讨论，确定各自含有的的个数，进而求出的最大值.

【详解】

解：（1）

（2）是正确的

证明：

或，

且

所以，即

并且当时，可以取等号，当时，可以取等号，

所以等号可以取到；

（3）设，，是单调递增数列.

分是奇、偶数情况讨论

，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.

当为偶数时，系数中有个和个，个和个.

当为奇数时，有两种情况：系数中有个和个，个；

或系数中有个和个，个.

[1]是偶数，，

[2]是奇数，，

因为，，可知

综上，当为偶数时，，；

当为奇数时，，

【点睛】

本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.