天津市南开区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2019-2020学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题）

1. 设全集2，3，，集合，，则等于

A.  B.  C.  D. 3，

2. 命题“，ln ”的否定是

A. ，ln  B. ，ln 
C. ，ln  D. ，ln 

3. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

5. 设，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

6. 过点，斜率为k的直线，被圆截得的弦长为，则k的值为

A.  B.  C.  D.

7. 函数的最大值与最小值之和为

A.  B.  C. 0 D.

8. 已知点，抛物线C：的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则：

A. 2： B. 1：2 C. 1： D. 1：3

9. 四边形ABCD中，，，，，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题）

10. 复数的共轭复数是______．
11. 曲线在点处的切线方程为______．
12. 四棱锥的底面ABCD是正方形，平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，，则此球的表面积等于______．
13. 设双曲线C经过点，且与具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．
14. 已知正数x，y满足，则当x______时，的最小值是______．
15. 对于实数a和b，定义运算“”：，设，若函数恰有三个零点，，，则m的取值范围是______；的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题）

16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，的面积为．
    Ⅰ求a及sinC的值；
    Ⅱ求的值．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，，，．
    Ⅰ求证：平面；
    Ⅱ求二面角的余弦值；
    Ⅲ求点到平面的距离．
    
    
     

18. 已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3．
    Ⅰ求椭圆C的方程；
    Ⅱ设椭圆C与直线相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．
    当，时，射线OE交直线于点为坐标原点，求的最小值；
    当，且时，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，，．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ令，证明：；
    Ⅲ求．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数．
    Ⅰ讨论的单调性；
    Ⅱ若对恒成立，求实数a的取值范围；
    Ⅲ当时，设为自然对数的底若正实数，满足，，，证明：
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：全集2，3，，集合，，
，
．
故选：B．
先求出，由此能求出的值．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
 

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，ln ”的否定是：，ln ．
故选：A．
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3.【答案】A
 

【解析】解：函数为奇函数，不满足条件．
B.函数的定义域为，函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．
C.为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
D.，函数为偶函数，当时，为增函数，满足条件，
故选：A．
根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．
4.【答案】C
 

【解析】解：等差数列的公差为d，，
，
，
则“”是“”的充要条件，
故选：C．
化简求解，再判断充要性．
本题考查充要性，以及数列，属于基础题．
5.【答案】A
 

【解析】解：，，
，，
，，
，
故选：A．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
6.【答案】A
 

【解析】解：设直线方程为，即，
圆截得的弦长为，
圆心到直线的距离为，
，
．
故选：A．
设直线方程为，利用圆截得的弦长为，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．
本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．
7.【答案】D
 

【解析】解：函数
，
由，得，
所以，
所以y的最大值为2，最小值为，
所以y的最大值与最小值之和为．
故选：D．
化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
8.【答案】C
 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，点A坐标为
抛物线的准线方程为l：，直线AF的斜率为，
过M作于P，根据抛物线物定义得
中，，
，可得，得
因此，，可得：：
故选：C
求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率过M作于P，根据抛物线物定义得中，根据，从而得到，进而算出，由此即可得到：的值．
本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
9.【答案】C
 

【解析】解：如图，以点B为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系，则：
，设，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
的取值范围为．
故选：C．
根据题意，以点O为原点，以直线BA为x轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出，设，从而可求出的坐标，根据条件可得出，从而得出，从而可设，从而可得出，从而可得出的取值范围．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
10.【答案】
 

【解析】解：复数的共轭复数是．
故答案为：．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
11.【答案】
 

【解析】解：的导数
，
，
而切点的坐标为，
曲线在在处的切线方程为．
故答案为：
根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
 

【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，
所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，
它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，
所以，解得，
所以表面积为．
故答案为：．
根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．
本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．
13.【答案】；
 

【解析】解：与具有相同渐近线的双曲线方程可设为，，
双曲线C经过点，
，
即双曲线方程为，即，
对应的渐近线方程为，
故答案为：，．
利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．
本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．
14.【答案】  9
 

【解析】解：正数x，y满足，
，可得，
，
令则且，
，
，
当且仅当即，此时取最小值9，
故答案为：，9．
由已知可得，，可得，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
15.【答案】 
 

【解析】解：当时，即，，当时，即，，
所以，因为有三个零点，所以与的图象有三个交点，即与函数有三个交点，作出的图象，如图，
所以，
不妨设，易知，且，所以
由解得，
所以，
所以．
故答案分别为和
首先根据定义求出函数的解析式，因为有三个零点，所以与的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．
本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．
16.【答案】解：Ⅰ在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，
的面积为，，，，
．
再根据正弦定理可得，即，．
Ⅱ，，
故．
 

【解析】Ⅰ由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，再根据三角形的面积求得b、c的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a及sinC的值．
Ⅱ利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．
17.【答案】解：依题意，以C为原点，CB为x轴，为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，
，
Ⅰ证明：，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
，即，
平面；
Ⅱ，
设平面ABD的一个法向量为，则，令，则，
又平面的一个法向量为，
，即二面角的余弦值为；
Ⅲ设点到平面的距离为d，则易知，而，
点到平面的距离为．
 

【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，
Ⅰ求出及平面的法向量，验证它们平行即可得证；
Ⅱ求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；
Ⅲ设点到平面的距离为d，则易知，由此得解．
本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解Ⅰ，设椭圆的右焦点，，由题意得：，，，解得：，，
所以椭圆的方程：；
Ⅱ设，，将直线与椭圆联立整理得：，，即，
且，，所以MN的中点，所以射线OE：，与直线的交点，所以，所以，当且仅当，，
所以时有最小值2．
当，且时，则，所以，即，，，解得，
所以m取值范围．
 

【解析】Ⅰ由题意得b值及右焦点到直线的距离得c的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；
Ⅱ直线MN与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE求出n的值，再求，用均值不等式求出最小值；
由题意知，斜率互为负倒数得m与k之间的关系，再与判别式大于零联立得m的范围．
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ设数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，
由，，，，可得，，，
解得，，，
则，；
Ⅱ证明：，
；
Ⅲ由，
可设，
，
相减可得
，
化简可得．
 

【解析】Ⅰ设数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式；
Ⅱ由对数的运算性质求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；
Ⅲ由，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令解得，令解得，故此时函数在上单调递增，在上单调递减；
Ⅱ对恒成立，即为对任意的，都有，
设，则，令，则，
在上单调递减，且，
当时，，，单调递增；
当，，，单调递减，
，
实数a的取值范围为．
Ⅲ证明：当时，，，不妨设，
下先证：存在，使得，
构造函数，显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，使得，即存在，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
，
，
由得，，
即
 

【解析】Ⅰ求导，分及解不等式即可得到单调性；
Ⅱ依题意，问题可转化为对任意恒成立，进而转化为求函数的最值问题；
Ⅲ先证存在，使得，结合为增函数，可得结论，令，再利用所证结论即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．