江苏省无锡市普通高中2020届高三上学期期末调研考试数学试题含附加题 Word版含解析

无锡市普通高中2019年秋学期高三期终调研考试卷

                     数学                     2020.1

注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1.集合，，则_____.

答案：

解：因为表示为奇数，故

2.已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.

答案：-8

解：，所以，所以

3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.

答案：7.5

解：

4.函数过定点________.

答案：

解：由指数函数的性质，可得过定点

5.等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.

答案：4

解：设等差数列的公差为，由题意得: ，则

整理得，，所以

6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.

答案：

解：

7.在长方体中，,，，为的中点，则点到平面的距离是______.

答案：

解：，

，解得

8.如图所示的流程图中，输出的值为______.

答案：4

9.圆关于直线的对称圆的方程为_____.

答案：

解：的圆心为，关于对称点设为则有：

，解得，所以对称后的圆心为，故.

10.正方形的边长为2，圆内切与正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.

答案：

11.双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接角圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.

答案：

12.对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.

答案：

13.在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且,若，则的正切值为_____.

答案：3

14.函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. （本小题满分14分）

在中，角所对的分别为，向量，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）求的最大值.

16. （本小题满分14分）

在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

17. （本小题满分14分）

已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不行与坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.

（1）求的周长；

（2）求面积的最大值.

18. （本小题满分16分）

一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元

(1)求发酵池AD边长的范围;

(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.

19.（本小题满分16分）

已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20.（本小题满分16分）

设函数，，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，（）.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求证：随着的增大而增大.

附加题，共40分

21．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知a，b，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：，（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点, ∠AEB＝90°，

∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．

（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；

（2）求二面角A—DE—C的正弦值．

23．（本小题满分10分）

对于任意的x＞1，，用数学归纳法证明：．