2020届江西省新余市高三上学期第四次段考数学（文）试题（解析版）

2020届江西省新余市高三上学期第四次段考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】集合表示函数的值域，集合表示函数的定义域，由函数的定义域、值域的求法，求出集合、，再求即可.

【详解】

解：因为，则，即，

又，,由，解得，即，

即，

故选D.

【点睛】

本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.

2．复数，其中为虚数单位，则的虚部为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.

【详解】

虚部为-1，

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

3．若点在角的终边上，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据三角函数的定义得到，，再由二倍角公式得到结果.

【详解】

点在角的终边上,根据三角函数的定义得到

，

.

故

故答案为D.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的定义，三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.

4．已知为等差数列，，，则等于（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．

【详解】

解：为等差数列，，，

，，

，，，

，

．

故选：

【点睛】

本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

5．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】化简函数得 ，的图象向右平移个单位可得，所得函数的图象关于y轴对称，得，即，，对赋值求解即可.

【详解】

∵ ，

函数的图象向右平移个单位可得 ，所得图象关于y轴对称，

根据三角函数的对称性，可得此函数在y轴处取得函数的最值，即，解得=，，

所以，，且，令 时，的最小值为 .

故选D．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的对称性的应用，属于中档题．

6．已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.

【详解】

因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

7．已知，则，则（    ）

A．﹣1 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】先根据二倍角余弦公式化简条件得，再利用两角差正切公式求解.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查二倍角余弦公式以及两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．已知数列的前n项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据和项与通项关系得递推关系式，再根据等比数列定义（从第二项起）以及通项公式求结果.

【详解】

相减得

当时

因此从第二项起成等差数列，因此

故选：C

【点睛】

本题考查和项与通项关系以及等比数列定义与通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．已知向量，满足，，且则向量与的夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.

【详解】

因为向量，满足，，且，

所以，即，因此，

所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.

10．已知的内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先由正弦定理得，再由余弦定理得，最后由求面积.

【详解】

由结合正弦定理可得，则.

由余弦定理，可得，

解得，则.

又，

所以.故选B.

【点睛】

本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式.

11．在中，，，、分别为的三等分点，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积•的值．

【详解】

△ABC中，||＝||，

∴2•2•，

∴•0，

∴⊥，

建立如图所示的平面直角坐标系，

由E，F为BC边的三等分点，

则A（0，0），B（0，2），C（2，0），E（，），F（，），

∴（，），（，），

∴•+．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键．

12．已知函数，若对任意的，在上总有唯一的零点，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】 函数，可得，

 所以由，

 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，

 在坐标系中画出和的图象，如图所示，

 对任意的，在上总唯一的零点，可得，

可得，可得，即，故选C.

二、填空题

13．已知向量，，则________．

【答案】

【解析】先求向量坐标，再根据向量模的坐标表示得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查向量模的坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．若变量满足 ，则的最小值为______．

【答案】

【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．

【详解】

画出可行域，由 的几何意义可得，的最小值为原点到直线x+y=1的距离，易知最小距离为 ．

故答案为

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

15．已知等差数列中，，，则数列的前2018项的和为________．

【答案】2018

【解析】先根据条件求出首项与公差，再根据等差数列通项公式得，最后利用分组求和法得结果.

【详解】

，，，，

，

所以数列的前2018项的和为

故答案为：2018

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

【详解】

设F（x），

则F′（x），

∵，

∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．

∵

∴，即F（x）＜F（2x）

∴，即x＞1

∴不等式的解为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

三、解答题

17．已知数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的

试题解析：（Ⅰ）时，（2分）

时，，（4分）

是以为首项，为公比的等比数列，（6分）

（Ⅱ）（8分）

（11分）

（12分）

【考点】（1）求数列的通项公式；（2）裂项求和．

18．已知函数．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数在内有两个零点，．求的值及实数t的取值范围．

【答案】（1）函数的单调递增区间为：和（2），t的范围是

【解析】（1）先根据二倍角余弦公式与二倍角正弦公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求单调递增区间，

（2）先参变分离得，再结合三角函数图象确定的值及实数t的取值范围．

【详解】

解：（1）函数．

令：，

解得：，

当时，函数的单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，

由于，

故函数的单调递增区间为：和．

（2）由于函数，

所以：

由于，

所以：，

图象为

由于在内有两个零点，，

∴

由图可知t的范围是

【点睛】

本题考查二倍角余弦公式、二倍角正弦公式、辅助角公式以及正弦函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

19．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，E、F分别为，BC的中点．

（1）求证：平面ABE；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）取AB中点G，根据平面几何性质证得四边形为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结果，

（2）先根据等体积法得，再根据锥体体积公式求解.

【详解】

证明：（1）取AB中点G，连结EG，FG．

∵则F，G分别是BC，AB的中点，

∴，且．

∵，且，

∴，且．

∴四边形为平行四边形．

∴．

又∵平面ABE，平面ABE，

∴平面ABE．

（2），，

∵平面ABE，

∴

【点睛】

本题考查线面平行判定定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

20．在平面直角坐标系xOy中，设定点，P是函数图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，求实数a的值．

【答案】或

【解析】先根据两点间距离公式列函数关系式，再令，转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系讨论函数最小值，根据最小值解得实数a的值．

【详解】

设，

令，

则

若，当时，，

解得．

若，当时，，

解得．

【点睛】

本题考查两点间距离公式以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

21．设是抛物线的焦点．

（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；

（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32.

【解析】（Ⅰ）可设切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零列方程即可得结果；（Ⅱ）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得的值，从而可得四边形面积，利用基本不等式可得结果.

【详解】

（Ⅰ）由题意可设切线方程为,联立方程得

由可得:

所求切线方程为:或

（Ⅱ）设, 不妨设直线的斜率为,则方程为

由:得∴

∴

又，∴直线的斜率为:，

同理可得：

∴

∴当时，等号成立，四边形面积的最小值为32

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

22．已知函数（a为常数）与x轴有唯一的公共点A．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）曲线在点A处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，，满足，证明：．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合单调性求出f（x）的最小值，从而确定a的范围；
（Ⅱ）求出a的值，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，得到−(x12−1+3lnx1)＝x22−1+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根据函数的单调性证明即可．

【详解】

（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，

故由题意可知曲线与x轴存在公共点，又，则有

当时，，函数在定义域上递增，满足条件；

当时，函数在上递减，在上递增，

①若时，则，取，则，

故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；

②若，则函数的极小值为，符合题意；

③若，则由函数的单调性，有，取，有．

下面研究函数

，，因为恒成立，故函数在上递增．故，故成立，函数在区间上存在零点，不符合题意．

综上所述：

当时，函数的递增区间为，递减区间为；

当时，函数的递增区间为，无递减区间．

（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，

由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．

不妨设，因为，则，

则有，整理得，

由基本不等式得，故，整理，即．

由函数在上单调递增，所以，即．

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．