2020届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2020届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考数学（文）试题

一、单选题

1．设全集 ，集合，则=

A．｛0，4｝ B．｛1，5｝ C．｛2，0，4｝ D．｛2，0，5｝

【答案】C

【解析】    ，

因为全集 ，所以= ，选C.

2．设是虚数单位，复数，则=（  ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】先化简运算复数，然后求出模长即可.

【详解】

解：因为复数

所以

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的运算与模长，属于基础题.

3．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用诱导公式可求出的值.

【详解】

由诱导公式可得.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是要明确两角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

4．下列函数中，是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分析各选项中函数的奇偶性，可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，函数的对称轴为直线，该函数不是偶函数；

对于B选项，函数为非奇非偶函数；

对于C选项，函数的定义域为，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数；

对于D选项，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断，熟悉基本初等函数的奇偶性以及函数奇偶性的定义是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.

5．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（  ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【解析】根据余弦定理化简已知条件，求得，由此求得角的大小.

【详解】

由已知及余弦定理，得，所以．

故选:C．

【点睛】

本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.

6．设平面向量，，若，则等于（  ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】D

【解析】利用向量共线定理即可得出，从而计算出的坐标，利用向量模的公式即可得结果.

【详解】

，解得，

，

，故选D.

【点睛】

本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

7．等差数列中，若，则数列前11项的和为

A．121 B．120 C．110 D．132

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为d，

∵，

∴,

∴,

∴,

解得.

∴。选A。

8．函数的单调递减区间是    （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，可得和定义域，由，即可求解函数的递减区间.

【详解】

由题意，可得，

令，即，解得，即函数的递减区间为.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

9．函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：以代得，,所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除;令，得函数值，排除，选.

【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的图象.

10．若等比数列的各项均为正数，且，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：由题意结合等比数列的性质和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：因为等比数列的各项均为正数，且，

所以，

所以，

所以

．

本题选择A选项.

点睛：本题主要考查等比数列的性质，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．在等腰三角形中，，，点，是边上的两个三等分点，则（   ）

A．0 B．3 C．-6 D．6

【答案】D

【解析】先取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，再求出坐标，得到与坐标，进而可求出其数量积.

【详解】

如图，取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为，，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，所以，，所以.

故选D

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，可采用建系的方法求出向量的坐标，进而可求出结果，属于基础题型.

12．已知为定义在上的奇函数，当时，，以下列命题：

①当时，    ②的解集为

③函数共有2个零点    ④，都有

其中正确命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】首先根据奇函数，求时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时，

转化为成立.

【详解】

①设，

是奇函数，

，①不成立；

②当时， ，解得：；

当时， ，解得：，

综上：不等式的解集是，故②正确；

③由②可知有两个零点，分别是和，

是上的奇函数， ，

有3个零点，分别是.

故③不正确；

④当时，，

，当时，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，取得最大值，，

是奇函数，的最小值是，

，

，都有，故④正确.

故正确的有②④.

故选：B

【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，本题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求的解析式，那就需设，再根据函数的奇偶性，求的解析式，本题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记.

二、填空题

13．若，则______.

【答案】

【解析】利用二倍角余弦公式可求出的值.

【详解】

由二倍角余弦公式可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二倍角余弦值的计算，熟练利用二倍角余弦公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

14．在等差数列中，已知，则的值为______.

【答案】

【解析】利用等差中项的性质计算出，即可计算出的值.

【详解】

由等差中项的性质可得，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.

15．的内角、、的对边分别为、、，若，，则______.

【答案】

【解析】利用三角形的面积公式可求出的值，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值.

【详解】

由三角形的面积公式可得，解得.

由平面向量数量积的定义可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角形面积求其它量，同时也考查了平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.

16．已知数列中，，，则数列的前项和为______.

【答案】

【解析】利用累加法求出，可得出数列的通项公式，然后利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.

【详解】

，，

，，

，则数列为等差数列.

因此，数列的前项和为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查累加法求数列通项，同时也考查了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

17．已知数列是等差数列，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先求得公式为2，然后利用等差数列通项公式可得.

(2) 利用题意可得数列是首项为9，公比的等比数列，结合等比数列求和公式可得.

试题解析：

（1）∵数列是等差数列，

由，得，∴，

由，所以公差，

∴数列的通项公式.

（2），，

∴数列是首项为9，公比的等比数列，

数列的前项和

18．的内角、、的对边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想求出的值，结合角的范围可得出角的值；

（2）利用余弦定理求出的值，利用三角形的面积公式可求出的面积.

【详解】

（1），由正弦定理得，

则，

，，，因此，；

（2）由余弦定理得，即，整理得.

，解得，因此，的面积为.

【点睛】

本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，解题时要结合三角形已知元素的类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

19．    已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝ (n∈N)．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）根据等比数列定义，代入条件化简即得 （2）先求出 ，再利用分组求和以及错位相减法得数列{bn}的前n项和Sn.

试题解析：解：(1)证明：∵an＋1＝，∴＝＝＋.

∴－＝.又∵a1＝1，∴－＝，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

(2)解：由(1)知－＝·n－1＝，

即＝＋，∴bn＝＝＋.

设Tn＝＋＋＋…＋，①

则Tn＝＋＋…＋＋，②

①－②，得Tn＝＋＋…＋－＝1－－，

∴Tn＝2－－.

又∵ (1＋2＋3＋…＋n)＝，

∴数列{bn}的前n项和Sn＝2－＋.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

20．已知，，满足．

（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；

（2）已知、、分别为锐角的三个内角、、对应的边长，的最大值是，且，求周长的取值范围．

【答案】（1），最小正周期为；（2）.

【解析】（1）由，可得出，利用二倍角降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简，然后利用周期公式可计算出函数的最小正周期；

（2）由题意可得，可得出的取值范围，结合题中条件求出的值，然后利用正弦定理将表示为角的三角函数，并求出角的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围.

【详解】

（1），，满足，

，

，

因此，函数的最小正周期为；

（2）由题意可知，函数的最大值为.

为锐角，则，，则，解得.

由正弦定理，，，

，

为锐角三角形，且，则，即，解得，

，，则.

因此，的周长的取值范围是.

【点睛】

本题考查三角函数解析式化简以及正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角形周长取值范围的计算，一般转化为以某角为自变量的三角函数值域问题求解，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数.

（1）若在处取得极小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求函数的导数，由求之即可；（2）分、、分别讨论函数的单调性，由单调性求出函数在区间上的最小值，由求之即可.

试题解析： （1）∵的定义域为，，

∵在处取得极小值，∴，即.

此时，经验证是的极小值点，故

（2）∵，

①当时，，∴在上单调递减，

∴当时，矛盾

②当时，，

令，得；，得.

（ⅰ）当，即时，

时，，即递减，∴矛盾.

（ⅱ）当，即时，

时，，即递增，∴满足题意.

综上，

【考点】1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式.

22．已知圆的极坐标方程为：.

（1）将极坐标方程化为普通方程；

（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.

【答案】（1）

（2）最大值为，最小值为

【解析】（1）将先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程．

（2）由题可知圆的参数方程为 （为参数），因为点在该圆上，所以，所以可得，从而得出答案．

【详解】

（1）由圆的极坐标方程为：

可得，即

所以直角坐标方程为

（2）由（1）可知圆的方程为

所以圆的参数方程为 ，（为参数）

因为点在该圆上，所以

所以

因为的最大值为，最小值为

所以的最大值为，最小值为

【点睛】

极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．