2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出中不等式的解集确定出，及中的范围确定出，确定出集合的补集再求出即可.

【详解】

因为集合，

则，

又，

所以.

故选：.

【点睛】

此题考查了交集、补集及其运算,熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，是基础题.

2．若复数为纯虚数，则（    ）．

A． B．2 C．5 D．

【答案】D

【解析】把给出的复数化简,然后由实部等于，虚部不等于求解的值，最后代入模的公式求模.

【详解】

由，

因为复数为纯虚数，

，解得,

所以

故选:.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法,是基础题.

3．下列不等式正确的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小.

【详解】

对于,由对数函数的图像与性质可知

对于,由指数函数的图像与性质可知

对于,由指数函数的图像与性质可知

综上可知,

故选:A

【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题.

4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用奇函数画出函数图像，同时画出的图像，结合图像即可得出.

【详解】

为上的奇函数，所以如图，画出在的图象，得点、点在上，

画出的图象，得到其渐近线为，且在第一象限与的图象交点为，要解不等式，则结合图象，需的图象在图象的上方，从而解得:.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是函数奇偶性，单调性的应用，以及指数函数的性质应用，数型结合的应用，是中档题.

5．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式和二倍角公式计算可得.

【详解】

，

.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是诱导公式，二倍角公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题.

6．数列，满足，，，则数列的前项和为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.

【详解】

因为，，所以数列是等差数列，数列的等比数列，

因此，，

数列的前项和为：

.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.

7．第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有，，，，5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且和是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意,首先和看成一个整体再根据每个体育馆至少安排一人，计算所有的基本事件，再计算甲体育馆恰好安排了1人含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式,计算可得答案.

【详解】

因为和是同学需分配到同一体育馆，所以把看成一个元素，

又每个体育馆至少安排一人，

所有的基本事件有，

甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有,

甲体育馆恰好安排了1人的概率为.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是古典概型及其概率公式，考查带有限制条件的元素的排列组合问题，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，是中档题.

8．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图过作准线的垂线，垂足分别为
又

由拋物线定义 由 知，

把 代入上式，求得

故

故选A．

二、多选题

9．定义新运算，当时，；当时，，则函数，的值可以等于（    ）．

A． B．1 C．6 D．

【答案】BCD

【解析】先根据题意算出函数的表达式，再算出函数的值域，即可得答案.

【详解】

由题意知，

易知函数在上单调递增，

所以，

所以函数，的值可以等于为.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是函数的单调性和函数的值域的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.

10．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．

A．， B．，，

C．， D．，，

【答案】ABC

【解析】根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.

【详解】

由面面垂直定理可以判断正确，

对于选项，，，，也可以得到，故错.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.

11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（    ）．

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调增

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【解析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.

【详解】

由函数（其中，，）的图像可得：

，，因此,

,

所以，过点，

因此，又，

所以，

，

当时，，故错；

当时，，故正确；

当，，所以在上单调递增，故正确；

当时，，所以与函数有的交点的横坐标为 ，，故正确.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.

12．已知函数，下列四个命题正确的是（    ）．

A．函数为偶函数

B．若，其中，，，则

C．函数在上为单调递增函数

D．若，则

【答案】ABD

【解析】根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断.

【详解】

函数

对于，，，所以函数为偶函数，故正确；

对于，若，其中，，，所以，

，即，得到，故正确；

对于，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故错误；

对于，因为，，故

，故正确.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.

三、填空题

13．已知向量．若向量，则_____．

【答案】

【解析】由向量的差的坐标运算可得：，

由两向量平行的坐标运算得：，运算即可得解.

【详解】

解：向量，，

，

，，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题.

14．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）

【答案】无

【解析】可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可

【详解】

如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险

故答案为：无

【点睛】

本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题

15．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则异面直线与所成角为______；三棱锥的外接球的体积为______．

【答案】       

【解析】根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出平面，再根据，可得，从而得出异面直线与所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而得出球的直径，即可得出球的体积.

【详解】

由三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长知，三棱锥是正三棱锥，则点在底面中的投影为底面的中心，为中点如图，

因此,所以平面,平面,

,又、分别为棱、的中点，

则,因此，异面直线与所成角为；

,

平面,又，则平面,又三棱锥是正三棱锥，

因此三棱锥可以看成正方体的一部分且为正方体的四个顶点，故球的直径为，

则球的体积为.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查的是异面直线所成角，线面垂直的判定定理，以及球的体积，考查学生的理解能力，是中档题.

16．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.

【答案】

【解析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.

【详解】

由题意，得，另一个焦点，

由对称性知，，

又因为线段的垂直平分线经过点，，

则，可得是正三角形，

如图所示，连接，则，

由图象的对称性可知，，

又因为是等腰三角形，

则，

在中，

由余弦定理：，

上式可化为，

整理得：，即，由于，

则，

故，故答案为.

【点睛】

本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.

四、解答题

17．已知函数，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.

（1）当时，求的值域；

（2）已知锐角△的内角、、的对边分别为、、，若，，，求△的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）现根据平移法则求得，再求值域即可；

（2）由求得，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积.

【详解】

（1），将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，得到；然后向左平移个单位，得到；再向上平移个单位，得到，当，， ，

（2）或（由题意三角形为锐角三角形，故舍去），

，①

，②

又，，代入①②得bc=3,则

【点睛】

本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题

18．已知是各项为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项．

（1）设，，求证：是等差数列；

（2）若，，，

（Ⅰ）求数列的前项和；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析(2) （Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】(1)根据等差数列定义即可证明；

(2)(Ⅰ)求出数列的通项，再利用并项求和即可得出；（Ⅱ）求出数列的通项，再利用裂项求和即可得出.

【详解】

（1）证明：∵是和的等比中项，

∴，

，

，，，

所以是等差数列．

（2）由（1）可得

，

（Ⅰ）知，数列的前项和；

．

（Ⅱ）因为，，

∴，

.

【点睛】

本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂项求和的应用，考查学生的计算能力，是中档题.

19．如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）．

（1）证明：平面平面；

（2）若，试判断线段上是否存在一点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）存在，

【解析】(1)先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直证明面平面即可；

(2)建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再利用向量所成角的关系式求出直线与平面所成角的正弦值，建立关系式，即可得出的值.

【详解】

（1）证明：连接，在等腰梯形中，，，为中点，

∴四边形为菱形，∴，

∴，，即，，且，

平面，平面，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）由（1）可知四边形为菱形，∴，

在等腰梯形中，∴正三角形，

∴，同理，

∵，∴，∴．

由（1）可知，，

以为原点，，，分别为轴，轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由题意得，各点坐标为，，，，，

∴，，，

设，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，，得，∴，

设直线与平面所成角为，，

则，即，

化简得：，解得，

∴存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的证明，以及利用空间向量法求线面所成角，考查学生的分析问题、解决问题的能力，同时考查学生的计算能力，是中档题.

20．2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；

（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于“的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．

附：①；②若，则，，，

【答案】（1）（2）分布列见解析,

【解析】(1)先求出，再根据正态分布的知识求出即可；

(2)先求出的所有可能情况元，再求的的分布列及数学期望即可.

【详解】

（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得

；

又，，

所以．

（2）根据题意可以得出所得话费的可能值有20，40，60，80元，

得20元的情况为低于平均值，概率，

得40元的情况有一次机会获得40元，两次机会获得2个20元，概率，

得60元的情况为两次机会，一次40元，一次20元，概率，

得80元的情况为两次机会，都是40元，概率，

所以变量的分布列为：

所以其期望为．

【点睛】

本题主要考查的是正态分布的知识及离散型随机变量的分布列、数学期望问题，综合性强，考查学生的分析问题能力，是中档题.

21．已知椭圆，四点，，，，恰有三点在椭圆上．

（1）求的方程；

（2）设、为椭圆在左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．

【答案】（1）（2）1

【解析】(1)根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆，即可求出椭圆方程；

(2)由可得点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高,由三角形面积公式及基本不等式可得结论.

【详解】

（1）∵椭圆，

四点、、、

结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，

所以，，解得，

∴椭圆的方程为．

（2）由椭圆的方程可知：，，，

，，

由，即，

由，解得，则点坐标为，

设直线的方程为，，

整理得，由得，

则，，，，

∴，．

当且仅当，即时，取等号，

∴面积的最大值1．

【点睛】

本题主要考查椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式及基本不等式的应用，考查学生的计算能力，是难题.

22．已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）对函数进行求导得，再对分三种情况进行讨论；

（2）先求出，再对进行求导研究函数的图象特征，当时，图象在上是增函数，不符合题；当时，再将问题转化为构造函数进行求解证明.

【详解】

（1）函数的定义域为.

，

因为，所以，

①当，即时，

由得或，由得，

所以在，上是增函数， 在上是减函数；

②当，即时，所以在上是增函数；

③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函

综上可知：

当时在，上是单调递增，在上是单调递减；

当时，在.上是单调递增；

当时在，上是单调递增，在上是单调递减.

 （2），，

当时， ，所以在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以.

由得，即，

不妨设，则，

要证，只需证，即证，

只需证，令，只需证，即证，

令，则，

所以在上是增函数，所以，

从而，故.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性及证明问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题.