2020届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分别求两个集合，再求交集.

【详解】

∵，

，解得：

，

∴.

故选：D.

【点睛】

本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型.

2．复数等于（   ）

A．              B．             C．              D．

【答案】A

【解析】略

3．已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的平均数为1，则（    ）

A．2 B．11 C．12 D．14

【答案】D

【解析】根据在回归直线上，代入求，再求.

【详解】

∵，且在线性回归直线上，

∴，

则.

故选：D.

【点睛】

本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点.

4．经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设圆心为，根据条件列关于的方程，求圆的标准方程.

【详解】

设圆心的坐标为，

则①，

②，

③；

由①②③组成方程组，解得

，，；

故所求圆的标准方程是.

故选：A.

【点睛】

本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型.

5．已知向量，.若向量，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.

【详解】

向量，，若向量，

则，

则实数，

故选：D

【点睛】

本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型.

6．．阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1；

第二圈，n=13,n=27,否k=2；

第三圈，n=27,n=55,否k=3；

第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B。

【考点】本题主要考查程序框图。

点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果。

7．如图，正三棱柱中，是中点，则下列叙述正确的是（    ）

A．与是异面直线 B．平面

C．，为异面直线，且 D．平面

【答案】C

【解析】逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析；

B.根据与的夹角判断；

C.利用面面垂直的性质定理证明；

D.利用，判断线面是否平行.

【详解】

A. 与都在平面内，所以是共面直线，不是异面直线，故不正确；

B.若平面，则应垂直于平面内的任一条直线，但与的夹角是 ，不垂直，故不正确；

C. 与是异面直线，

平面平面，且平面平面，

又是正三角形，且是的中点，

,

平面，

故C正确；

D. , 又与平面相交，那么与平面相交，故不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查线线和线面关系的判断，意在考查空间想象能力和推理与证明，属于中档题型.

8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．

【详解】

在中，，，，由余弦定理，得，

所以.

所以所求概率为.

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

9．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据等差数列的性质可知，可知是定值，再利用等差数列的前项和公式计算.

【详解】

是一个定值，

只有：是一个定值.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的性质和等差数列的前项和，意在考查基本计算，属于基础题型.

10．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则在区间上函数的图象与轴的交点的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【解析】首先由题意判断函数的周期，再根据时的零点个数，判断在上的零点个数.

【详解】

因为是上偶函数，且满足，

∴满足，

令，则，∴；

∴是最小正周期为2的周期函数，

当时，解得或，

故在区间上解的个数为6，

又因为，故在区间上解的个数为7，

即函数的图象在区间上与x轴的交点的个数为7.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的性质求函数的零点个数，属于基础综合问题，本题的关键是根据函数性质判断函数的周期，当函数有两个对称轴时，可判断函数是周期函数.

11．已知点是双曲线：右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】设渐近线与交于点，分别是和的中点，则，由题意可知，是直角三角形，设，，内建立边长的等量关系，求双曲线的离心率.

【详解】

设渐近线与交于点，分别是和的中点，则，

由题意，是直角三角形， 的斜率为，

设，，则①,

∵②，③，

由①②可知， ，

解得：，

∴，

∴.

故选：D.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.

12．函数，若，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先画出函数的图象，根据可知，并解出和，表示，根据的范围，再代入分段函数求值域.

【详解】

设，

作出的图象，

由图象知，，

由，得，

由，得，

则，

∵，∴，

则，

即，

此时，

即的取值范围是，

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是用表示，并求其范围.

13．若变量，满足约束条件，则的最大值等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，

直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C.

【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.

二、填空题

14．已知函数，则_____.

【答案】2

【解析】先求，再求的值.

【详解】

∵函数，

∴，

.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查分段函数求值，属于简单计算题型.

15．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____.

【答案】

【解析】根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率.

【详解】

∵甲和乙都不可能是第一名，

∴第一名只可能是丙、丁或戊，

又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，

∴这三个人获得第一名是等概率事件，

∴丙是第一名的概率是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.

16．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．

【答案】144π

【解析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.

【详解】

如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，

设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，

故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.

故答案为144π.

【点睛】

本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.

三、解答题

17．已知函数.

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）当，且时，的值域是，求，的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当时，利用降幂公式，和辅助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间；

（2）类似于（1）的化简，先求的范围，再求的范围，再用表示函数的最值，列方程组求解.

【详解】

（1）当时，.

由得：，

所以的单调递增区间为；

（2）因为，

，

所以，，又的值域是，

所以，.

【点睛】

本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.

18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.

（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在，，的路段中共抽取个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的个路段中任取个，求至少有个路段为轻度拥堵的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）分别求，，这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽取的路段的个数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，分别设个轻度拥堵路段为，，选取的个中度拥堵路段为，，，选取的个严重拥堵路段为，然后按照列举法求概率.

【详解】

（Ⅰ）由直方图可知：

，，.

所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个.

拥堵路段共有个，按分层抽样从18个路段中选出6个，

每种情况分别为：，，，

即这三个级别路段中分别抽取的个数为.

（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，，选取的个中度拥堵路段为，，，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，

其中至少有个轻度拥堵的有：

，，，，，，，，，共9种可能，所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为：.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用和古典概型，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.

19．如图，在四棱锥中，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由，得，．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.

试题解析：（1）由已知，得，．

由于，故，从而平面．

又平面，所以平面平面．

（2）在平面内作，垂足为．

由（1）知，面，故，可得平面．

设，则由已知可得，．

故四棱锥的体积．

由题设得，故．

从而，，．

可得四棱锥的侧面积为

．

20．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求在上的最大值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可知，和，求，的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，先求，再求 ，利用的正负，分析的单调性，并求的最小值，并判断的单调性，求函数的最大值.

【详解】

（Ⅰ），

由题设得，，

解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，所以.

【点睛】

本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数的正负，分析的单调性，

21．如图，已知椭圆：经过点，离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点为椭圆与轴正半轴的交点，点为线段的中点，点是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线，分别交直线于，两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，

【解析】（Ⅰ）根据已知条件列方程组，求解椭圆方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点的坐标，并求直线的方程，设，，，根据三点共线求和，并表示.

【详解】

（Ⅰ）由题意可知：，解得，

所以椭圆的方程：；

（Ⅱ）由已知，点的坐标为，得直线 的方程为，

设，，，

因，，三点共线，故，整理得，

因，，三点共线，故，整理得，

因点在椭圆上，故，

从而，

所以为定值.

【点睛】

本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点的纵坐标并用点的纵坐标表示，并将表示为，这样问题迎刃而解.

22．已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：.

（1）若直线与曲线相切，求的值；

（2）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）将直线的参数方程化为普通方程为，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，利用直线和圆相切的条件，列方程求的值；（2）利用圆的参数设，从而将用角表示，转化为三角函数的取值范围问题．

试题解析：（1）曲线C的直角坐标方程为

即曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆.

直线l的方程为:3分

∵直线l与曲线C相切 ∴

即5分

∵aÎ[0，π） ∴a=6分

（2）设

则=9分

∴的取值范围是. 10分

【考点】1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程和参数方程.

23．若实数，，满足，则称比接近.

（Ⅰ）若比接近，求的取值范围；

（Ⅱ）已知，且，求证：比接近0.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】（Ⅰ）由题意可知，转化为解含绝对值不等式；

（Ⅱ）利用分析法转化为证明，然后两边平方，逐步转化为使命题成立的充分条件.

【详解】

（Ⅰ）由已知得，

则，∴，

∴的取值范围为.

（Ⅱ） 要证比接近0，

只需证，

只需证，

只需证，

即证.

∵，且，∴显然成立，

∴比接近0.

【点睛】

本题考查解含绝对值不等式，以及分析法证明不等式，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型.