2020届陕西省渭南市韩城市教学研究室高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2020届陕西省渭南市韩城市教学研究室高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（　　）

A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（2，3] D．（1，3）

【答案】A

【解析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．

【详解】

根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，

N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；

故选：A．

【点睛】

本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．

2．若，且为第二象限角，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知利用诱导公式，求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解。

【详解】

由题意，得，

又由为第二象限角，所以，

所以。故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3．函数的零点所在一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据零点存在定理判断．

【详解】

，，，在上有零点．

故选：B．

【点睛】

本题考查零点存在定理，在上连续的函数，若，则在上至少有一个零点．

4．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】与中间值0，1比较可得．

【详解】

∵，，，∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查比较幂和对数的大小，对于这种不同类型的数的大小比较，一般借助于中间值，如0，1，2等，与中间比较后可得他们之间的大小．

5．以下三个命题正确的个数有（   ）个.①若，则或；②定义域为的函数，函数为奇函数是的充分不必要条件；③若，且，则的最小值为

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【解析】①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判断.

【详解】

当且时，成立，

根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确；

定义域为的奇函数必有，

定义域为函数且满足不一定是奇函数，如，故②正确；

若，且，

则

当且仅当即时等号成立，故③正确；

故选D.

【点睛】

本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .

6．已知是定义在R上的奇函数，当时(m为常数)，则的值为(  　)

A．4 B．6 C． D．

【答案】C

【解析】先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（﹣log35）=﹣f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值.

【详解】

由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），

∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1

∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4

故选：C．

【点睛】

本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．

7．已知有极大值和极小值，则a的取值范围为（  ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【解析】先求出导数f′（x），由f（x）有极大值、极小值可知f′（x）＝0有两个不等实根，求解即可．

【详解】

解：函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，

所以f′（x）＝3x2+2ax+（a+6），

因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根，

即3x2+2ax+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，

解得：a＜﹣3或a＞6．

故选：D．

【点睛】

本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根是解题的关键．

8．函数的图象大致是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用函数奇偶性的定义求得函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；利用时，的符号可排除，从而得到结果.

【详解】

由题意可得：定义域为：

由得：为偶函数，图象关于轴对称，可排除

当时，，    ，可排除

本题正确选项：

【点睛】

本题考查函数图象的识别，关键是能够利用函数的奇偶性和特殊位置的符号来进行排除，属于常考题型.

9．已知，是关于的方程的两个实根，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，是关于的方程的两个实根，

∴+=k，tanα•=k2﹣3=1．

∵，∴k＞0，∵k2 =4，∴k=2，∴tanα=1，∴α=3π+，

则cosα=﹣，sinα=﹣，则cosα+sinα=，

故选C．

10．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(  )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.

【详解】

因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．

故选B．

【点睛】

对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.

11．将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．

【详解】

由图象知A＝1，（），即函数的周期T＝π，

则π，得ω＝2，

即g（x）＝sin（2x+φ），

由五点对应法得2φ＝π，得φ，

则g（x）＝sin（2x），

将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，

即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），

故选：C．

【点睛】

本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.

12．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，由确定单调性，利用的单调性解题设不等式．

【详解】

设，则，当时，，即，在上是增函数，，又是偶函数，∴，

∴不等式化为且，即且，∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查用导数解不等式，即由导数确定函数的单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是构造新函数．

二、填空题

13．已知函数，则______.

【答案】-2

【解析】由导数的定义求解．

【详解】

由题意，

．

故答案为：－2．

【点睛】

本题考查导数的定义，导数定义是：，注意分子分母中的增量是一致的，如果不一样，必须配成一样，结合极限的性质就可符合导数的定义．

14．若函数 是R上的单调函数，则实数的取值范围是____________

【答案】

【解析】 在 上是单调函数； 对于 恒成立； ，所以实数 的取值范围为 ，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ② 求解的．

15．已知函数若函数存在两个零点,则实数的取值范围是__________

【答案】.

【解析】由g(x)=f(x)−k=0，

得f(x)=k，

令y=k与y=f(x)，

作出函数y=k与y=f(x)的图象如图：

当x⩽0时，0<f(x)⩽1，

当x>0时，f(x)∈R，

∴要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，

则k∈(0,1].

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

16．关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在闭区间上是增函数； ⑤已知，，则的最大值是．写出所有正确的命题的题号_____.

【答案】③⑤

【解析】对各个命题逐个分析，结合三角函数性质判断．

【详解】

在第一象限的每一个区间上是增函数，在第一象限内不能说是增函数，①错；

是奇函数，②错；

，，时，，∴是函数的一个对称中心，③正确；

当时，，因此函数在上不是增函数，④错；

由于，可设，则，其中是锐角，而的最大值是，∴最大值是，⑤正确．

故答案为：③⑤．

【点睛】

本题考查判断命题的真假，实质是考查三角函数的性质，考查三角函数的单调性、对称性、最值．    掌握三角函数的性质是解题基础．本题还用到了三角换元法，解题时注意在出现平方和为1的条件时可选用三角换元．

三、解答题

17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）若角满足，求的值．

【答案】（1）   （2）   （3）或

【解析】（1）由三角函数定义得，由正切的二倍角公式求得；

（2）用诱导公式化简，可用同角关系式化为正切的式子，再代入求值，也可直接代入求值；

（3）由平方关系求得，再由两角差的余弦公式求得．

【详解】

（1）角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，

∴，，，

∴.

（2）；

（3）若角满足，∴.

当时，

.

当时，

.

【点睛】

本题考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，考查诱导公式、同角间的三角函数关系、两角差的余弦公式，公式较多，掌握三角函数公式是解题基础．解题时要注意在用平方关系求值时如果不能确定角的范围，请分类讨论．

18．已知函数．

（1）求点处的切线方程；

（2）求函数在上的最值．

【答案】（1）   （2）最大值为，最小值为

【解析】（1）求出导数，得切线斜率，从而写出切线方程；

（2）由导函数确定在上的单调性，注意比较两端点处函数值大小后可得最值．

【详解】

解：（1），，

，，

故点处的切线方程：；

（2）由，可得在递增，在递减．

，，.

∵，且．

∴函数在上的最大值为，最小值为．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．属于基础题．

19．已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；

（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)，对称中心；

(Ⅱ).

【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把化简成一角一名一次式即的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由求出的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得的最值，得解.

试题解析：解：（Ⅰ）

∴的最小正周期为，

令，则，

∴的对称中心为；

（Ⅱ）∵∴∴

∴

∴当时，的最小值为；

当时，的最大值为．

【考点】二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.

【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.

20．已知函数，

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不等式即可；（2）根据题意将问题转化为2≤f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。

解析：

（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，

即有f（x）=

不等式f（x）≤4即为 或 或.

即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，则为0≤x≤4，

则解集为[0，4]；

（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，

∴2≤f（x）min；

由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，

即f（x）min=|1﹣a|，

∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，

解得a≥3或a≤﹣1．

∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．

21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与圆交于两点，点，求的值.

【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为.（Ⅱ）2

【解析】（1）求直线的普通方程，消去参数即可；求圆的直角坐标方程利用互化即可.

（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中的几何意义求解的值.

【详解】

解：（Ⅰ）直线的普通方程为，

圆的直角坐标方程为.   

（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得，

化简可得.

则.

【点睛】

（1）直角坐标和极坐标互化公式：；

（2）直线过定点，与圆锥曲线的交点为，利用直线参数方程中的几何意义求解：，则有，.

22．已知函数（其中，且）.

（1）当时，求函数的极值；

（2）讨论函数的单调性．

【答案】（1）的极大值为，极小值为．   （2）当时，在，上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在，上递增，在上递减；当时，在上递减，在上递增．

【解析】（1）求出导函数，解方程，并确定的单调性得极值．

（2）由（1）的解题过程知对按分类讨论可得单调性．

【详解】

解：（1）因为，

所以当时，，随变化的变化情况为

可知的极大值为，极小值为．

（2）由（1）知当时，在，上递增，在上递减；

当时，在上递增；

当时，在，上递增，在上递减；

当时，在上递减，在上递增．

【点睛】

本题考查用导数求极值、研究函数的单调性．过程：

（1）求出导函数；（2）解方程；（3）由的解分段讨论的正负；（4）得单调性，得极值．