2020届上海市闵行区高三上学期质量调研考试（一模）数学试题

上海市闵行区2020届高三一模

数学试卷

2019.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合，，则       

2. 复数的共轭复数是       

3. 计算：       

4. 已知，使得取到最大值时，       

5. 在△中，已知，，为△的重心，用向量、表示向量

6. 设函数，则方程的解为       

7. 已知，则        （结果用数字表示）

8. 若首项为正数的等比数列，公比，且

，则实数的取值范围是       

9. 如图，在三棱锥中，、、分别是

、、的中点，、分别是、

的中点，设三棱柱的体积为，三棱

锥的体积为，则       

10. 若是正六边形的中心，，，且、、互不相同，要使得，则有序向量组的个数为       

11. 若，且上的值域为，则实数的取值范围是

12. 设函数（，），，若恰有4个零点，

则下述结论中：① 若恒成立，则的值有且仅有2个；

② 在上单调递增；③ 存在和，使得对任意

恒成立；④“”是“方程在内恰有五个解”的必要条件；

所有正确结论的编号是       

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知直线的斜率为2，则直线的法向量为（    ）

A.             B.             C.             D.

14. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是（    ）

A.           B.           C.           D.

15. 在正四面体中，点为△所在平面上的动点，若与所成角为

定值，，则动点的轨迹是（    ）

A. 圆             B. 椭圆             C. 双曲线             D. 抛物线

16. 已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论：① 若，则数列是递增数列；② 数列奇数项是递增数列；则（    ）

A. ①对②错        B. ①错②对        C. ①②均错误        D. ①②均正确

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，、是底面的两条直径，且，，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心.

（1）求圆柱的侧面积；

（2）求异面直线和所成的角的大小.

18. 已知函数.

（1）若为奇函数，求的值；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为、、三个校区建造一座垃圾处理站，集中处理三个小区的湿垃圾，已知在的正西方向，在的北偏东30°方向，在的北偏西20°方向，且在的北偏西45°方向，小区与相距2，与相距3.

（1）求垃圾处理站与小区之间的距离；

（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元（其中为满足是199内的正整数），现有两种运输湿垃圾的方案：

方案1：只用一辆大车运输，从出发，依次经、、再由返回到；

方案2：先用两辆小车分别从、运送到，然后并各自返回到、，一辆大车从直接到再返回到；试比较哪种方案更合算？请说明理由.

（结果精确到小数点后两位）

20. 已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.

（1）求的圆心到的准线的距离；

（2）若点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，记切线为、，求四边形的面积的取值范围；

（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，

证明：“”的充要条件是“直线的方程为”.

21. 已知数列满足，（），（），.

（1）当时，写出所有可能的值；

（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；

（3）记数列的前项和为，若、分别构成等差数列，求.

参考答案

一. 填空题

1.             2.               3.             4.

5.           6.         7.             8.

9.              10.           11.             12. ①③④

二. 选择题

13. D           14. C           15. B           16. D

三. 解答题

17.（1）；（2）.

18.（1）；（2）.

19.（1）；（2）第一种方案：；第二种方案：；

当，选择方案二；当，选择方案一.

20.（1）4；（2）；（3）证明略.

21.（1）、、、；（2）当为奇数，；当为偶数，；

（3）.