2020届云南省曲靖市高三第一次教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届云南省曲靖市高三第一次教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．设，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出集合，直接进行交集运算.

【详解】

由题意得，所以，

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2．已知复数满足，为虚数单位，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以应选答案A。

3．已知平面向量满足，，若，则实数m等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由向量垂直推出数量积关系，列出方程代入即可得解.

【详解】

因为，所以，得，又，而，代入，得，所以，

故选：C.

【点睛】

本题考查由向量的垂直关系求参数，属于基础题.

4．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用函数的单调性比较与的大小，再利用中间量比较与、大小．

【详解】

解：因为对数函数在区间上单调递增，且，

所以，

又即，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量、法，属于基础题．

5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（   ）

A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤

【答案】D

【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.

【详解】

因为每一尺的重量构成等差数列，，，

，

数列的前5项和为．

即金锤共重15斤，

故选D．

【点睛】

本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.

6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（    ）（参考数据：）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【解析】根据题意列出不等式，得，转化为，代入题目所给数值即可求出范围.

【详解】

由题意得，化得，两边同时取常用对数，

可得，因为，

所以，则至少通过11块玻璃，

故选：C.

【点睛】

本题考查实际问题中的指数函数模型，解题时常常用到对数运算，要注意结合已知条件中给定的值对应求解.

7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）

A． B．8 C． D．4

【答案】C

【解析】将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．

【详解】

F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．

由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，

∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．

故选C．

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（　　）

A．10 B．6 C．7 D．16

【答案】A

【解析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于分的个数数出来，即为输出的结果．

【详解】

，，成立，不成立，；

，，成立，不成立，；

，，成立，成立，，；

依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于分的学生数为，故选A．

【点睛】

本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．

9．函数的大致图象是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数奇偶性，再结合零点排除选项.

【详解】

函数为奇函数，排除B，C；又函数的零点为-1和1，

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数图像的判别，属于基础题.

10．已知函数在处取得极小值，则的最大值为（    ）

A．27 B．9 C．4 D．1

【答案】C

【解析】由极值点处导数为零求得，从而将表示为关于的三次函数，再次利用导数求出函数的最值，即可得解.

【详解】

由，可得，则，

即，所以，记，，

则，令，解得，所以在区间上单调递增，

在区间上单调递减，，此时，

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性及求解函数最值，属于中档题.

11．已知双曲线的渐近线均和圆相切，且双曲线M的右焦点为圆N的圆心，则双曲线M的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意因为圆把它变成圆的标准方程知其圆心为，利用双曲线的右焦点为圆的圆心及双曲线的标准方程建立，的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆相切，建立另一个，的方程．

【详解】

解：∵ 圆N的圆心，半径

∴双曲线M的右焦点坐标为，即，则①

又∵ 双曲线M的一条渐近线方程为，

∴点N到渐近线的距离等于半径，即，化得②

联立①②解得：，，

∴该双曲线M的离心率为.

故选：A.

【点睛】

此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题，属于中档题．

12．在四面体中，，，用平行于，的平面截此四面体，得到截面四边形，则四边形面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】根据线面平行的性质可知，，,，因为，，故，所以四边形为矩形，设，，建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.

【详解】

设截面分别与棱交于点.由直线平面，

且平面平面，平面平面

得，，所以，

同理可证，所以四边形为平行四边形，

又，，

可证得，四边形为矩形.

设，，

则，，于是

当时，四边形的面积有最大值.

故选：B.

【点睛】

本题考查了运用四面体中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于较难题.

二、填空题

13．等比数列的前项和为，且，，成等差数列,若，则____________.

【答案】15．

【解析】由题意得

14．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为_______.

【答案】1

【解析】由约束条件作出可行域，当直线过点时，相应坐标值代入求得最小值.

【详解】

由约束条件作出可行域如图：

联立，解得.令，由图可知，当直线过点时，

z有最小值为1，即的最小值为1，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查线性规划，根据约束条件求最值，属于基础题.

15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是的中点，在几何体内任取一点，则该点在几何体内的概率为_______.

【答案】

【解析】分别计算几何体与几何体的体积，代入几何概型中的体积概率公式即可得解.

【详解】

因为，，所以该点在几何体内的概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查几何概型及柱体、椎体体积，属于基础题.

16．已知函数，.则方程有______个实数根.

【答案】1

【解析】分类讨论分段函数在每一段上的根的个数.

【详解】

当时，，得，解得；

当时，，此时无解.

综上：方程有1个实数根，且.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合应用，属于基础题.

三、解答题

17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求出a的值；

（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由频率之和为1列方程求解即可；(2) 列举法确定基本事件即可求出概率.

【详解】

（1）由，解得.   

（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法共抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人，分别记为

设从5人中随机抽取3人，则有，，，，，，，，，共10个基本事件；

其中第2组恰好抽到2人包含，，，，，共6个基本事件，

所以第2组抽到2人的概率

【点睛】

本题考查了频率分布直方图及样本的数字特征，条件概率与独立事件以及组合，属于基础题.

18．已知函数的最大值为1.

（1）求t的值；

（2）设锐角△ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC

的面积为，且，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)首先利用两角差的余弦公式化简得到，由正弦函数的值域列出方程求得；(2)由 求得锐角，代入三角形面积公式求得，再利用余弦定理即可求出.

【详解】

（1）

∵的最大值为1，∴，解得；

（2）∵，∴，又△ABC是锐角三角形，

得，.

∴，解得，由三角形面积公式得，，可得，

由余弦定理，

可得，，而，∴

【点睛】

本题考查了利用两角差的余弦公式化简函数解析式，运用余弦定理及三角形面积公式解三角形，属于基础题.

19．如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求多面体的体积.

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】(1)首先证明及，从而证明平面，最后推出平面平面；(2)将空间几何体分解为一个三棱锥和一个四棱锥，分别根据已知条件找出两个空间几何体的高，然后求得体积.

【详解】

（1）∵是菱形，∴，

∵平面，∴，

∵ ，∴平面,

∵平面，∴平面平面

（2）多面体 由四棱锥和三棱锥组合而成，

在四棱锥中，∵平面，∴高为.

取中点G，连接（如图），则平面，

又平面，∴是矩形，.

∵菱形的边长为2，，

∴，

∴.

∵，三棱锥的高即，

∴，所以多面体的体积为3.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，锥体体积的计算，找准底面与高是关键，属于中档题.

20．已知函数，，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线在其与y轴的交点处的切线记作，曲线在其与x轴的交点处的切线记作，且.

（1）求之间的距离；

（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由导数的几何意义求出，因为，所以切线斜率相等求出，求得两直线的方程，代入两平行直线间的距离公式即可得解；(2)不等式化简为

，令，利用导数求出的最大值，根据不等式有解即可求出m的取值范围.

【详解】

（1）函数的图像与y轴的交点为，函数的图像与x轴的交点为，

而，，

∵，∴，得，又∵，∴.

∴，，∴切线过点，斜率为；

切线过点，斜率为，

，，

∴两平行切线间的距离.

（2）由，得，故在时有解，令，则只需，

当时，；

当时，可求得，

∵，当且仅当时取等号，而，

∴，故，即，

∴函数在区间上单调递减，故，即，

∴实数m的取值范围为.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数的极值与最值以及均值不等式，属于中档题.

21．已知椭圆的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D.若，求动点D的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由题意知，，即可求得椭圆方程；(2)先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合向量的垂直关系即可求得m，k的关系式，从而求得，再验证斜率不存在时也满足，则可求得点D的轨迹方程.

【详解】

（1）由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

由消去y整理得，根据题设有：

且，.

∵，∴，即，

将，代入，化得，

把，代入整理得：，

∵，∴；

当直线l的斜率不存在时，设，由得，.

∵，∴，解得，∴

所以动点D的轨迹是以原点O为圆心，半径为的圆，方程为.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，点到直线的距离公式，属于较难题.

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.

【答案】（1）l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）

【解析】（1）消去参数可得直线的普通方程，根据互化公式可得曲线的直角坐标方程．

（2）根据直线的参数方程的几何意义可得．

【详解】

解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为；

因为，所以，

因为，，

所以曲线C的直角坐标方程为

（2）易判断点是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为，

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得.

其中，，.

于是

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程、参数方程以及直线的参数方程的几何意义，属中档题．

23．已知函数的一个零点为1．

求不等式的解集；

若，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（ I）先由题目条件求得a,运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤1，即有或，解不等式即可得到所求解集；（2）由（1）知，因为，，由“1”的利用和均值不等式证明即可.

【详解】

（1）因为函数 （）的一个零点为，

所以

又当时，，，

上述不等式可化为或，或

解得或或

所以或或，

所以原不等式的解集为

（2）由（1）知，因为，，

所以 ，

当且仅当，时取等号，所以．

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，运用分段函数求解，由“1”的利用和均值不等式证明不等式成立，注意取等条件，属于中档题．