2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试卷A Word版含答案

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试

数学仿真模拟试题 A· 解析版

选择题部分

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1．已知集合，，则

A． B． C．0 D．

1．【答案】B

【解析】由交集定义可得：，故选B．

2．不等式的解集为

A． B．

C．或 D．

2．【答案】A

【解析】由二次函数的图象可知，不等式的解是，故选A．

3．若，则

A． B． C． D．

3．【答案】B

【解析】，故选B．

4．圆的圆心在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．【答案】A

【解析】化简得到，圆心为，在第一象限，故选A．

5．双曲线方程为x2−2y2=1，则它的左焦点的坐标为

A．(−，0) B．(−，0) C．(−，0) D．(−，0)

5．【答案】C

【解析】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(−，0).故选C．

6．已知向量满足，，，则

A． B． C． D．2

6．【答案】A

【解析】由，，即，又，，则.所以本题答案为A．

7．若变量x，y满足约束条件，则z=2x＋y的最大值是

A．2 B．3 C．4 D．5

7．【答案】B

【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，

当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大，最大值是3，故选B．

8．若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是

A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面

8．【答案】D

【解析】当时，与相交；当时，与异面.故答案为D.

9．过点且与直线垂直的直线方程为

A． B．

C． D．

9．【答案】A

【解析】由可得直线斜率，根据两直线垂直的关系得，求得，再利用点斜式，可求得直线方程为，化简得，故选A.

10．函数的大致图象是

A． B． C． D．

10．【答案】B

【解析】由函数，可知函数是偶函数，排除C，D；

定义域满足：，可得或．当时，是递增函数，排除A.故选B．

11．设都是不等于的正数，则“”是“”的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

11．【答案】B

【解析】若，则，从而有，故为充分条件.

若不一定有，比如，从而不成立.故选B．

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

12．【答案】C

【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，

故，故选C．

13．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为

A．6 B．7 C．8 D．9

13．【答案】C

【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C．

14．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么下列说法正确的是

A．函数的最小正周期为

B．函数是奇函数

C．函数的图象关于点对称

D．函数的图象关于直线对称

14．【答案】B

【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数

的图象，故为奇函数，且最小正周期为，故A错误，B正确；

令，，得，，则函数的图象关于点，对称，故C错误；

令，，得，，则函数的图象关于直线，对称，故D错误.

故选B．

15．在三棱锥中，，若过的平面将三棱锥分为体积相等的两部分，则棱与平面所成角的余弦值为

A． B． C． D．

15．【答案】D

【解析】如图所示，取中点为，连接，因为过的平面将三棱锥分为体积相等的两部分，所以即为平面.

又因为，所以，又，所以，且，所以平面，所以与平面所成角即为，因为，所以，所以，所以，故选D．

16．已知直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

16．【答案】D

【解析】设，

∵点在椭圆上，∴，

两式相减整理得，∴，即，

∴，∴，

∴椭圆的离心率为．故选D．

17．已知数列满足，若，则

A． B． C． D．

17．【答案】D

【解析】数列满足，，

，．故选D．

18．如图，在中，，动点，，分别在边，，上，四边形为矩形，剪去矩形后，将剩余部分绕所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，

A．2 B．3 C．4 D．

18．【答案】B

【解析】设，，其中，由题易得，

所以，则所求几何体的表面积为：

，当且仅当，即时等号成立.故选B.

非选择题部分

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

19．已知直线与平行，则________，与之间的距离为________.

19．【答案】−1；

【解析】由两直线平行，得，在直线上任取一点（0，1），到直线的距离为d=.故答案为−1；.

20．函数的定义域为________.

20．【答案】

【解析】因为，所以，则定义域为，故答案为.

21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里．

21．【答案】84

【解析】由题意画出图象：

且AB=13里，BC=14里，AC=15里，

在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，

所以sinB==，

则该沙田的面积即△ABC的面积S=AB•BC•sinB==84．故答案为84．

22．已知函数．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为________.

22．【答案】

【解析】不等式可化为：，

若对任意，总存在，使得成立，则，

当时，的最大值为；

当时，的最大值为，最小值为，

所以可化为，解得.

故.

三、解答题（本大题共3小题，共31分）

23．（本小题满分10分）

在中，角所对的边分别是，若，且，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求.

23．（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）由，可得，即，即，（3分）

由余弦定理可得.（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得，（7分）

在中，由正弦定理可得，所以.（10分）

24．（本小题满分10分）

已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，满足.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.

24．（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）因为直线过焦点，设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

所以有，，，

因此，抛物线的方程为.（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，

联立抛物线的方程得，所以，，

则有，，（6分）

因此

.（9分）

因此，当且仅当时，有最小值.（10分）

25．（本小题满分11分）

已知定义域为的函数在上有最大值1，设.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．

25．（本小题满分11分）

【解析】（Ⅰ）因为在上是增函数，

所以，解得．（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

所以不等式在上恒成立等价于在上恒成立.（3分）

令，因为，所以，

则有在恒成立.（4分）

令，，则，

所以，即，所以实数的取值范围为．（6分）

（Ⅲ）因为，

令，由题意可知，

令，，（7分）

则函数有三个不同的零点等价于在上有两个不同的零点，（8分）

当时，此时方程，此时关于的方程有三个零点，符合题意；

当时，记方程的两根为，，且，，，

所以，解得.

综上，实数的取值范围是．（11分）