人教版 (新课标)选修34 单摆教学设计

课时11.4　单　　摆

　　1.知道什么是单摆,了解单摆运动的特点。

2.通过实验,探究单摆的周期与摆长的关系。

3.知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度。

重点难点:单摆运动的特点和对单摆周期公式的探究,对单摆的回复力分析及对小角度摆动的近似处理。

教学建议:单摆是简谐运动的典型应用实例,要掌握其运动规律、受力情况和图象特点。教学中应该首先明确单摆是一种理想化的模型,通过演示实验观察单摆的振动图象,使学生在感观上得到单摆的图象,加深感性认识。为了研究周期与各种因素的关系以及有怎样的关系,可以采用控制变量法研究,按照定性和定量结合的方案进行。教材将传统的“用单摆测重力加速度”的实验改为对知识的应用,其目的是加强学生对学习过程的体会,以及对科学探究方法的掌握。

导入新课:你家有摆钟吗?你知道座钟是谁首先发明的吗?座钟的钟摆摆一个来回需要多少时间?荷兰的惠更斯对摆的研究最为突出,他在1656年利用摆的等时性发明了带摆的计时器,并在1657年获得专利,在1658年就出版了《钟表论》一书。

1.单摆的理想化条件

(1)质量关系:细线质量与①小球质量相比可以忽略。

(2)线度关系:小球的②直径与线的长度相比可以忽略。

(3)力的关系:空气等对小球的③阻力与小球重力和线的拉力相比可以忽略。

单摆是实际摆的④理想化模型,实验中为满足上述条件,我们尽量选择⑤质量大、⑥体积小的球和尽量细的线。

2.单摆的回复力

(1) 回复力来源:摆球的重力沿⑦圆弧切向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力。

(2) 回复力大小:若摆球质量为m、摆长为l、偏离平衡位置的位移为x,在偏角很小时,单摆的回复力为⑧F=-x。

(3)回复力的特点:在偏角很小时,单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成⑨正比,方向总指向⑩平衡位置,即F=-kx。

3.单摆的周期

(1)实验表明,单摆振动的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关,但与摆长有关,摆长越长,周期也越大。

(2)周期公式:荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比,与重力加速度g的二次方根成反比,他确定了计算单摆周期的公式为T=2π。

4.用单摆测定重力加速度

(1)原理:由T=2π得g=,即只要测出单摆的摆长l和周期T,就可以求出当地的重力加速度。

(2)画图法处理实验数据:分别以l和T2为纵坐标和横坐标,画出函数l=T2的图象,它应该是一条直线,由该直线的斜率可求出的值,进而求出重力加速度g。

1.作为一个理想化模型,应该怎样认识单摆的摆线和小球?

解答: 摆线是没有弹性、没有质量的细绳,小球直径与线的长度相比可以忽略,小球摆动时空气等阻力可以忽略。

2.单摆的周期跟哪些因素有关?

解答:单摆的周期跟摆长以及所在地的重力加速度有关。

3.探究单摆周期与摆长关系实验中,测量周期的始末计时位置是选摆球的最高点还是最低点?

解答: 最低点。

主题1:单摆的动力学分析

甲

情景:某同学想研究单摆的运动,他把摆球拉到某一位置然后释放,发现小球总在关于最低点对称的圆弧上振动,并且越靠近最低点运动得越快,如图甲所示。他马上想到了刚刚学过的弹簧振子的简谐运动。

问题:(1)单摆沿圆弧运动的向心力由哪些力来提供?

(2)单摆往复运动的回复力由哪几个力来提供?

(3)阅读课本相关内容,思考单摆做简谐运动的条件。

解答:

(1)圆周运动的向心力是指向圆心的。如图乙所示,当摆球运动到P点时受到重力G和细线的拉力F'的作用,将重力G沿切线和细线两方向分解为F和G1。沿细线方向:Fn=F'-G1=F'-Gcos θ,它的作用是改变摆球的运动方向,提供摆球做圆周运动的向心力。

(2)小球静止在O点时,悬线竖直,悬线的拉力和小球的重力平衡,这个位置即为单摆的平衡位置。当摆球运动到P点时,将重力G沿切线和细线两方向分解,切线方向F=Gsin θ,它的作用是改变摆球速度的大小,使小球回到平衡位置,即为摆球提供做振动的回复力。

(3)只有摆角很小时,摆球相对于O点的位移x才和θ角所对的弧长近似相等,所以有sin θ≈(x表示摆球偏离平衡位置

的位移,l表示单摆的摆长),因此单摆的回复力F=mgsin θ=。又因为单摆回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反,所以F=-mgsin θ=-=-kx,满足简谐运动的条件。由此可以知道在偏角很小(通常θ<5°)时,单摆做简谐运动。

知识链接:单摆做简谐运动过程中,回复力并不是合力提供的(仅在左、右最大位移处合力提供回复力)。

　　主题2:单摆的周期公式及其应用

问题:(1)“探究单摆周期与摆长的关系”的实验主要采用了哪种实验方法?

(2)为减小误差,实验中测周期和摆长时都要取平均值,二者取平均值的方法有何不同?

(3)王红同学学习了单摆周期公式后,想把奶奶家墙上越走越慢的老式“挂钟”调准,她该怎么做?

(4)某校科技小组利用单摆周期公式测当地重力加速度,发现测出的结果比上网查到的结果总是偏大。请讨论后分析可能的原因。

解答: (1)控制变量法。

(2)测周期要用“累积法”,一次测量几十次全振动的时间,然后计算周期;测摆长是多次测量后取平均值。

(3)老式“挂钟”越走越慢是因为“挂钟”的周期比标准时钟的周期大,应把钟摆下面的小螺母适当上调,通过减小摆长来调小周期。

(4)可能的原因有两个:一是把摆线长度加上小球的直径当作了摆长;二是测周期记录全振动次数时多数了开始计时的一次。

知识链接:测摆长时,应悬挂摆球后测量,摆长是摆线长和摆球半径之和;测周期时,为减小误差应从平衡位置开始计时。

1.(考查单摆的回复力)单摆振动的回复力是(　　)。

A.摆球所受的重力

B.摆球重力在垂直悬线方向上的分力

C.悬线对摆球的拉力

D.摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力

【解析】单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力;重力的另一个分力与细线的拉力的合力提供摆球的向心力。

【答案】B

【点评】注意单摆的回复力与单摆所受合力的区别。

2.(考查单摆的周期公式)将秒摆的周期变为4 s,下列措施正确的是(　　)。

A.只将摆球质量变为原来的

B.只将振幅变为原来的2倍

C.只将摆长变为原来的4倍

D.只将摆长变为原来的16倍

【解析】单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,A、B均错;对秒摆,T0=2π=2 s,对周期为4 s的单摆,T=2π=4 s,故l=4l0。故C对,D错。

【答案】C

【点评】单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,当所在位置及环境条件不变时,只与摆长有关。

3.(考查单摆的周期)在一个单摆装置中,摆动物体是一个装满水的空心小球,球的正下方有一小孔,当摆开始以小角度摆动时,让水从球中连续流出,直到流完为止,则摆球的周期将(　　)。

A.逐渐增大 B.逐渐减小

C.先增大后减小 D.先减小后增大

【解析】单摆小角度摆动,做简谐运动的周期为T=2π,式中l为摆长,其值为悬点到摆动物体重心之间的距离。当小球装满水时,重心在球心,水流完后,重心也在球心,但在水刚流出过程中重心要降低。因此,在水流出的整个过程中,重心位置先下降后上升,即摆长l先增大后减小,所以摆动周期将先增大后减小。

【答案】C

【点评】随着水的流出,物体重心位置发生改变,摆长也随之变化。

4.(考查单摆的振动图象)图示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图象,其中实线表示A的运动图象,虚线表示B的运动图象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是(　　)。

A.这两个单摆的摆球质量一定相等

B.这两个单摆的摆长一定不同

C.这两个单摆的最大摆角一定相同

D.这两个单摆的振幅一定相同

【解析】从题中图象可知:两单摆的振幅相等,周期不等,所以,两单摆的摆长一定不同,故B、D对,C错。单摆的周期与质量无关,故A错。

【答案】BD

【点评】单摆简谐运动的位移大小与单摆圆周运动的弧长是不同的。

拓展一:单摆周期公式的应用

1.有一单摆,其摆长l=1.02 m,摆球的质量m=0.10 kg,已知单摆做简谐运动,单摆振动30次用的时间t=60.8 s。试求当地的重力加速度。

【分析】本题考查单摆周期公式的应用,注意单摆周期与摆球质量无关。

【解析】用振动30次的时间计算出周期,再将单摆的周期公式变形就可解得当地的重力加速度。当单摆做简谐运动时,其周期公式T=2π,由此可得g=,只要求出T值后将其代入公式即可。因为T== s=2.027 s,所以g== m/s2=9.79 m/s2。

【答案】9.79 m/s2

【点拨】根据单摆的周期公式T=2π可知,同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同,所以可以根据周期公式的变形式g=测重力加速度。

拓展二:用单摆测定重力加速度实验

2.利用单摆做简谐运动的周期公式,可以很精确地测量当地的重力加速度。如图甲所示,利用一根长细线,一个带孔的小铁球,一个铁架台组成一个简单的单摆,再利用毫米刻度尺测出单摆的摆长,用秒表测出单摆的周期,最后通过计算就可以求出当地的重力加速度的值。

(1)根据所给情景,单摆摆长应该如何测量?

(2)单摆周期的测量往往是先测出若干个周期(如50个周期)的时间,再求出一个周期。在测量时间时,开始计时(也是停止计时)的位置应选在哪里?

(3)下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据:

　　①利用上述数据在图乙坐标系中描出l-T2图象。

　　②利用图线可知,取T2=4.2 s2时,l=　　　　m,重力加速度g=　　　　m/s2。 

乙

【分析】(1)单摆摆长是指悬挂点到球心的距离;(2)测量时间的开始位置应该是小球经过它时能够准确判断出来的位置;(3)根据单摆周期公式T=2π,得g=,由于表格中的数据已经处理好了,所以可以直接描点画图象。

【解析】(1)先测量出悬挂点到小球的细线长度l',再测出小球的直径D,则摆长l=l'+。

(2)测量时间的开始位置应该是单摆的平衡位置,因为小球通过该位置时速度最快。

(3)①l-T2图象如图丙所示。

丙

　　②T2=4.2 s2时,从图丙中画出的直线上可读出其摆长l=1.05 m,将T2与l代入公式g=得g=9.86 m/s2。

【答案】(1)见解析　(2)平衡位置　(3)①如图丙所示　

②1.05　　9.86

【点拨】提高实验精度从两个方面下手:(1)尽可能准确地测量出摆长和周期;(2)多次改变摆长,重做实验得到多组数据,并用图象法处理数据。

一、物理百科

钟 表 小 史

古时候没有钟表,人们根据太阳影子的长短来判断时间。中国古代很早就用日晷计时。河南省登封县告成镇现存元代的一个观星台遗址,它的台高约9.5 m,台下有长约31.2 m的南北向的“量天尺”,这是当时先进的计时建筑。

用日影测时受气象限制,很不方便。于是人们发明了漏沙计时的“沙钟”,燃香计时的“火钟”,滴水计时的“水钟”。我国北宋苏颂等人发明了“水运仪象台”,它是最早采用齿轮的机械计时仪,被已故著名科学史专家李约瑟誉为“现代天文钟的鼻祖”。

17世纪中叶,意大利科学家伽利略发现了单摆的等时性。1656年,荷兰物理学家惠更斯利用这一性质制出了第一个实用的机械摆钟,从此人类掌握了比较精确地测量时间的方法。1658年英国物理学家胡克发明了有摆轮的怀表,1760年具有时、分、秒三个针的怀表问世,机械表更加具有实用价值。最精确的机械钟要数1920年问世的邵特钟,它一昼夜误差只有千分之一秒,被当时的天文台用来当作天文钟。

但是机械钟怕震,一次小地震就可能使它停摆或产生较大的误差,而且它的精度不能再提高了。20世纪三十年代石英钟问世了,它一昼夜误差只有万分之一秒,充当了天文钟的角色。

后来人们发现某些物质的分子或原子有更为稳定的计时功能,于是出现了原子钟。1949年世界上第一台原子钟在美国造出。原子钟运行3000多年才产生1 s的误差,所以目前天文台使用的都是原子钟。

二、备用试题

1.一只钟从甲地拿到乙地,它的钟摆摆动加快了,则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是(　　)。

A.g甲>g乙,将摆长适当增长

B.g甲>g乙,将摆长适当缩短

C.g甲<g乙,将摆长适当增长

D.g甲<g乙,将摆长适当缩短

【解析】钟从甲地拿到乙地,钟摆摆动加快,说明周期变短,由T=2π可知,g甲<g乙,要将钟调准需将摆长增长,故C正确。

【答案】C

2.我国探月的“嫦娥”工程已启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为(　　)。

A. B.

 C. D.

【解析】根据单摆周期公式T=2π,在月球上重力等于万有引力,mg=,月球密度ρ=,月球体积V=πr3,所以ρ=,选项B正确。

【答案】B

3.已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两摆长之差为1.6 m。则两单摆摆长la与lb分别为(　　)。

A.la=2.5 m,lb=0.9 m

B.la=0.9 m,lb=2.5 m

C.la=2.4 m,lb=4.0 m

D.la=4.0 m,lb=2.4 m

【解析】设单摆a、b振动的时间为t。根据单摆振动周期公式,有Ta==2π,Tb==2π。由于>,所以lb>la,则有lb-la=1.6 m。联立可解得100la=36lb,最后解得la=0.9 m,lb=2.5 m。

【答案】B

4.图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右运动为正方向,图乙是这个单摆的振动图象。根据图象回答:

(1)单摆振动的频率是多大?

(2)开始时刻摆球在何位置?

(3)若当地的重力加速度为10 m/s2,取π2=10,试求这个摆的摆长。

【解析】(1)由乙图知周期T=0.8 s,则频率f==1.25 Hz。

(2)由乙图知,0时刻摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以摆球在B点。

(3)由T=2π得l==0.16 m。

【答案】(1)1.25 Hz　(2)B点　(3)0.16 m

1.单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是(　　)。

A.摆线质量不计

B.摆线长度不伸缩

C.摆球的直径比摆线长度短得多

D.摆球体积要足够大

【解析】单摆由摆线和摆球组成,要求摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,A、B、C三项正确。

【答案】ABC

2.下列关于单摆的说法,正确的是(　　)。

A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅),经过正向最大位移处又运动到平衡位置时的位移为-A

B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力

C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力

D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零

【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点的,摆球在最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零。摆球的回复力由合力沿圆弧切线方向的分力(即重力沿圆弧切线方向的分力)提供,合力沿摆线方向的分力提供向心力。摆球经过最低点(振动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以加速度不为零。摆球到最高点时,向心力为零,回复力最大,合力也不为零。

【答案】C

3.两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速度v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2,则(　　)。

A.f1>f2,A1=A2

B.f1<f2,A1=A2

C.f1=f2,A1>A2

D.f1=f2,A1<A2

【解析】单摆的频率由摆长决定,摆长相等,频率相等,所以A、B错误;由机械能守恒知,小球在平衡位置的速度越大,其振幅越大,所以C正确,D错误。

【答案】C

4.两个摆长分别为l1和l2的单摆,做小角度振动,它们的振动图象分别为图中的1和2所示,则为(　　)。

A.　　　　　　　B.

C.3 D.9

【解析】由图象可知两单摆的周期T1∶T2=3∶1,由T=2π得,l1∶l2=9∶1。

【答案】D

5.如图所示,MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球A放在圆弧MN的圆心处,再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的D处。今使两球同时释放,则在不计空气阻力时有(　　)。

A.A球先到达C点

B.B球先到达C点

C.两球同时到达C点

D.无法确定哪一个球先到达C点

【解析】A球做自由落体运动,很容易求出到达C点的时间t=,其中l为圆弧MN的半径,而B球在MN上摆动,在振幅很小的情况下做简谐运动,周期与单摆周期类似,T=2π,所以B球从D→C的时间为,从而比较A、B两球到达C点时间的长短,可得t<,即A球先到达C点。

【答案】A

6.(1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作,请判断是否恰当(填“是”或“否”)。

①把单摆从平衡位置拉开约5°释放;　　　 

②在摆球经过最低点时启动停表计时;　　　 

③把停表记录摆球一次全振动的时间作为周期。　　 

(2)该同学改进测量方法后,得到的部分测量数据见下表。根据表中数据可以初步判断单摆周期随　　　　的增大而增大。 

　　【解析】(1)①单摆做简谐运动时要求摆角小,单摆从平衡位置拉开约5°释放满足此条件。

②因为最低点位置固定、容易观察,所以在最低点启动停表计时。

③摆球一次全振动的时间太短,不易读准,误差大,应测多个周期的时间求平均值。

(2)分析表格中的数据可知,当两摆的摆长相同、质量不同时,周期相同,而质量相同,摆长长的周期大,所以可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大。

【答案】(1)①是　②是　③否　(2)摆长

7.如图所示,用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动,则(　　)。

A.当小球每次通过平衡位置时,动能相同

B.当小球每次通过平衡位置时,速度相同

C.当小球每次通过平衡位置时,丝线拉力相同

D.撤去磁场后,小球摆动周期变大

【解析】小球摆动过程中,洛伦兹力方向垂直速度方向,所以回复力不变,周期不变,因洛伦兹力不做功,所以每次通过平衡位置时动能相同,但速度不同,故A正确,B、D错误;由于通过平衡位置时的速度方向不同,所受洛伦兹力方向不同,丝线的拉力大小不同,故C选项不正确。

【答案】A

8.一单摆做小角度摆动,其振动图象如图所示,以下说法正确的是(　　)。

A.t1时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最小

B.t2时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小

C.t3时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最大

D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大

【解析】设摆长为l,摆球质量为m,绳的拉力为T,摆球经过平衡位置时,根据牛顿第二定律与圆周运动知识可知,T-mg=m,则T=mg+m,摆球速度最大时,悬绳的拉力最大,故D选项正确。

【答案】D

9.一个单摆挂在电梯内,发现单摆的周期增大为原来的2倍,可见电梯在做加速运动,加速度a为(　　)。

A.方向向上,大小为

B.方向向上,大小为

C.方向向下,大小为

D.方向向下,大小为

【解析】单摆周期变大,由周期公式T=2π,可知等效重力加速度小于实际重力加速度,物体处于失重状态。所以加速度方向向下,等效重力加速度g'=,由牛顿第二定律mg-m·=ma,可以得到a=。故选D。

【答案】D

10.试确定下列两个摆球在平衡位置附近来回摆动的周期。

(1)如图甲所示,悬挂在水平横梁上的双线摆球,摆线长为l,摆线与水平横梁的夹角为θ。

(2)如图乙所示,光滑斜面上的摆球,斜面倾角为θ,摆线长为l。

【解析】(1)双线摆在垂直于纸面的竖直面内做简谐运动,等效摆长为lsin θ,故振动周期为T=2π。

(2)摆球在光滑的斜面上来回振动,等效重力加速度为gsin θ,其振动周期为T=2π。

【答案】(1)2π　(2)2π

11.将一水平木板从一沙摆(可视为简谐运动的单摆)下面以a=0.2 m/s2的加速度匀加速地水平抽出,板上留下的沙迹如图所示,量得O1O2=4 cm,O2O3=9 cm,O3O4=14 cm,试求沙摆的振动周期和摆长。(g=10 m/s2)

　　【解析】根据单摆振动的等时性得到O1O2、O2O3、O3O4三段位移所用的时间相同,由匀变速直线运动规律Δs=aT2计算可得:T== s=0.5 s,振动周期T'=2T=1 s。

由单摆公式T'=2π得:l==0.25 m。

【答案】1 s　0.25 m

12.如图所示,小球m自A点以沿AD方向的初速度v逐渐接近固定在D点的小球n。已知=0.8 m,圆弧AB半径R=10 m,AD=10 m,A、B、C、D在同一水平面上,则v为多大时,才能使m恰好碰到小球n?(g取10 m/s2,不计一切摩擦)

【解析】小球m的运动由两个分运动合成,这两个分运动分别是:以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运动。

因为≪R,所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性,是类单摆,其圆弧半径R即为类单摆的摆长。设小球m恰好能碰到小球n,则有:AD=vt,且满足t=kT(k=1,2,3,…)

根据单摆的周期公式T=2π

联立解得v= m/s(k=1,2,3,…)。

【答案】 m/s(k=1,2,3,…)