高考数学二轮复习练习：专题限时集训02《解三角形问题》（含答案详解）

高考数学二轮复习练习：专题限时集训02

《解三角形问题》

一、选择题

1.△ABC中，C=，AB=3，则△ABC的周长为(　　)

A.6sin＋3          B.6sin＋3

C.2sin＋3        D.2sin＋3

2.在△ABC中，c=，b=1，∠B=，则△ABC的形状为(　　)

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形或直角三角形

3.在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；

②若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为120°；

③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是＜x＜.

其中正确命题的个数是(　　)

A.3          B.2        C.1          D.0

4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A=asin B，且c=2b，

则等于(　　)

A.2　         B.3        C.         D.

5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C=，bcos A＋acos B=2，

则△ABC的外接圆面积为(　　)

A.4π        B.8π       C.9π         D.36π

6.如图2，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足.

若DE=2，则cos A=(　　)

A.       B.         C.         D.

7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A－sin B=，

b=，则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.        B.           C.          D.

8.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)=(c－b)sin C.若a=，则b2＋c2的取值范围是(　　)

A.(3,6]         B.(3,5)       C.(5,6]         D.[5,6]

二、填空题

9.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD面积为_____.

10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a=5，

tan B=－，那么=________.

11.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cos θ=________.

12.已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B＋C)＋3sin(A＋C)cos C=0，

则tan A的最大值为________.

三、解答题

13.如图所示，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，

且acos C＋asin C－b－c=0.

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cos B=，AD=，求△ABC的面积.

14.如图，平面四边形ABDC中，∠CAD=∠BAD=30°.

(1)若∠ABC=75°，AB=10，且AC∥BD，求CD的长；

(2)若BC=10，求AC＋AB的取值范围.

0.答案详解

1.答案为：C；

解析：设△ABC的外接圆半径为R，则2R==2，

于是BC=2Rsin A=2sin A，AC=2Rsin B=2sin，

于是△ABC的周长为2＋3=2sin＋3.选C.]

2.答案为：D；

解析：根据余弦定理有1=a2＋3－3a，解得a=1或a=2，

当a=1时，三角形ABC为等腰三角形，当a=2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]

3.答案为：B；

解析：对于①，由正弦定理得sin A==＞1，所以该三角形无解，①错；

对于②，设三边分别为3k,5k,7k(k＞0)，最大角为θ，

由余弦定理知cos θ==－，所以θ=120°，②对；

对于③，当x≥3时，设最大边所对的内角为θ，由题意及余弦定理知cos θ=＞0，

解得3≤x＜；

当0＜x＜3时，设最大边所对的内角为α，则cos α=＞0，解得＜x＜3，

所以＜x＜，③对.故选B.]

4.答案为：A；

解析：由2bsin 2A=asin B，得4bsin A·cos A=asin B，

由正弦定理得4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B，

∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A=，由余弦定理得a2=b2＋4b2－b2，∴a2=4b2，

∴=2.故选A.]

5.答案为：C；

解析：c=bcos A＋acos B=2，由cos C=得sin C=，再由正弦定理可得2R==6，

即R=3，所以△ABC的外接圆面积为πR2=9π，故选C.]

6.答案为：C；

解析：∵DE=2，∴BD=AD==.

∵∠BDC=2∠A，在△BCD中，

由正弦定理得=，

∴=×=，∴cos A=，故选C.]

7.答案为：A；

解析：根据正弦定理由sin A－sin B=可得a－b=，

得a2－b2=c(a－c)，即a2＋c2－b2=ac，故==cos B，

∵B∈(0，π)，∴B=.又由b=，可得a2＋c2=ac＋3，故a2＋c2=ac＋3≥2ac，

即ac≤3，当且仅当a=c=时取等号，故ac的最大值为3，

这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin =.]

8.答案为：C；

解析：由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)=(c－b)·c，

即b2＋c2－a2=bc，cos A==，

又A∈，∴A=.∵===2，

∴b2＋c2=4(sin2B＋sin2C)=4[sin2B＋sin2(A＋B)]

=4

=sin 2B－cos 2B＋4=2sin＋4.

∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，即2B－∈，

∴＜sin≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C.]

9.答案为：6；

解析：如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接四边形，

所以A＋C=180°，则cos A=－cos C，利用余弦定理得cos A=

，cos C=，解得BD2=，所以cos C=－.

由sin2C＋cos2C=1，得sin C=，因为A＋C=180°，

所以sin A=sin C=，S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD=×5×6×＋×3×4×=6.]

10.答案为：；

解析：在△ABC中，∵tan B=－，∴sin B=，cos B=－.

又S△ABC=acsin B=2c=8，∴c=4，∴b==，

∴==.]

11.答案为：－1；

解析：由∠DAC=15°，∠DBC=45°可得∠BDA=30°，∠DBA=135°，

∠BDC=90°－(15°＋θ)－30°=45°－θ，

由内角和定理可得∠DCB=180°－(45°－θ)－45°=90°＋θ，

根据正弦定理可得=，

即DB=100sin 15°=100×sin(45°－30°)=25(－1)，

又=，即=，得到cos θ=－1.]

12.答案为：；

解析：因为sin(B＋C)＋3sin(A＋C)cos C=0，所以sin(B＋C)=－3sin Bcos C，

即sin Bcos C＋cos Bsin C=－3sin Bcos C，sin Ccos B=－4sin Bcos C.

易知C≠90°，所以tan C=－4tan B，所以tan(A＋B)=4tan B，

所以tan A=tan[(A＋B)－B]==

=≤=(B是锐角，tan B＞0)，

当且仅当=4tan B，即tan B=时取等号，所以tan A的最大值为.]

13.解：(1)acos C＋asin C－b－c=0，

由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C=sin B＋sin C，

即sin Acos C＋sin Asin C=sin(A＋C)＋sin C，

又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A=1，

所以sin(A－30°)=.

在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°=30°，得A=60°.

(2)在△ABC中，因为cos B=，所以sin B=.

所以sin C=sin(A＋B)=×＋×=.

由正弦定理得，==.

设a=7x，c=5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2=AB2＋BD2－2AB·BDcos B，

即=25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x=1，所以a=7，c=5，

故S△ABC=acsin B=10.

14.解：(1)由已知，易得∠ACB=45°，

在△ABC中，=⇒BC=5.

因为AC∥BD，所以∠ADB=∠CAD=30°，∠CBD=∠ACB=45°，

在△ABD中，∠ADB=30°=∠BAD，所以DB=AB=10.

在△BCD中，CD==5.

(2)AC＋AB＞BC=10，

cos 60°=⇒(AB＋AC)2－100=3AB·AC，

而AB·AC≤，所以≤，解得AB＋AC≤20，

故AB＋AC的取值范围为(10,20].