高考数学二轮复习练习：专题限时集训06《随机变量及其分布》（含答案详解）

高考数学二轮复习练习：专题限时集训06

《随机变量及其分布》

一、选择题

1.将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为(　　)

A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7

2.已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：

若E(ξ)=，则p2＋q2=(　　)

A. 　　　　B.　　　　C. 　　　　D.1

3.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　　)

A. 　　　　B.　　　　C. 　　　　D.

4.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，

两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)

A. 　　　　B.　　　　C. 　　　　D.

5.设随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，若P(η＜－1)=0.2，则函数f(x)=x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是(　　)

A.0.2　　　　B.0.3　　　　C.0.7　　　　D.0.8

6.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分，若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为(　　)

A. 　　　　B.　　　　C. 　　　　D.

7.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)

A.100        B.200           C.300         D.400

8.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，

则E(ξ)=(　　)

A.3         B.3.5           C.3.6           D.4

二、填空题

9.2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________.

10.某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________.

11.某种游戏每局的规则是：参与者现在从标有5、6、7、8、9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其资金(单位：元).若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局游戏中的赌金与资金，则E(ξ)－E(η)=________(元).

12.一个盒子中有大小，形状完全相同，且编号分别为1,2的两个小球，从中有放回地先后摸两次，每次摸一球，设摸到的小球编号之和为ξ，则P(ξ=2)=________，D(ξ)=________.

三、解答题

13.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；

(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

0.答案详解

1.答案为：A；

解析：由题意，1－≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A.]

2.答案为：C；

解析：∵p＞0，q＞0，E(ξ)=.∴由随机变量ξ的分布列的性质得：

，∴p2＋q2=(q＋p)2－2pq=1－=.故选C.]

3.答案为：B；

解析：由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××=，

其中比赛进行了3局的概率为××＋××=，∴所求概率为÷=，故选B.]

4.答案为：C；

解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，

则由题意可得P(A)=，P(AB)=，

则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)

===.故选C.]

5.答案为：C；

解析：∵函数f(x)=x3＋x2＋η2x没有极值点，

∴f′(x)=x2＋2x＋η2=0无解，∴Δ=4－4η2＜0，∴η＜－1或η＞1，

∵随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，P(η＜－1)=0.2，

∴P(η＜－1或η＞1)=0.2＋0.5=0.7，故选C.]

6.答案为：C；

解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，

则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，

则P(A)=，P()=1－=，P(B)=P，P()=1－P，

依题意得：×(1－P)＋×P=，解得，P=，故选C.]

7.答案为：B；

解析：将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ=1,2,3，…，1 000，

由题意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)=1 000×0.1=100，又因为X=2ξ，

所以E(X)=2E(ξ)=200，故选B.]

8.答案为：B；

解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4.P(ξ=2)==，

P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，

所以E(ξ)=2×＋3×＋4×=，故选B.]

9.答案为：；

解析：由题意，英语成绩超过95分的概率是，∴在全市随机抽取的4名高三同学中，

恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是C··=.]

10.答案为：0.488；

解析：∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，

∴P(0＜ξ＜3)=P(ξ＞9)=0.2，∴正态分布的对称轴为ξ=6，

∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，

∴9年内部件不能正常工作的概率为0.83=0.512，

∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1－0.512=0.488.]

11.答案为：3；

解析：由题意可得：P(ξ=k)=(k=5,6,7,8,9).

可得E(ξ)==7.η的取值为：2,4,6,8.其中P(η=2)== ，

P(η=4)==，P(η=6)==，P(η=8)==，

其分布列为：

∴E(η)=2×＋4×＋6×＋8×=4.∴E(ξ)－E(η)=7－4=3(元).]

12.答案为：，；

解析：①从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有22=4种，

设取出两球的编号分别为x，y，则这4种情况是(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种；

则摸到的小球编号之和为ξ，ξ=x＋y；

当ξ=2时只有(1,1)1种情况；所以P(ξ=2)=；

②由题意，ξ的所有可能取值为2,3,4；且P(ξ=3)==，P(ξ=4)=；

∴随机变量ξ的分布列为，

ξ的数学期望为E(ξ)=2×＋3×＋4×=3，

方差为D(ξ)=(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×=.]

13.解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.

P(ξ=1)==；P(ξ=2)==；P(ξ=3)==.

应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为

E(ξ)=1×＋2×＋3×=2.

设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.

P(η=0)=C=；P(η=1)=C·=；P(η=2)=C·=；

P(η=3)=C=.

应聘者乙正确完成题数η的分布列为

E(η)=0×＋1×＋2×＋3×=2.(或因为η～B，所以E(η)=3×=2)

(2)因为D(ξ)=(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×=，

D(η)=3××=.所以D(ξ)＜D(η).

综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；

从做对题数的方差考查，甲较稳定；

从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大.