高考数学二轮复习练习：专题限时集训08《空间中的平行与垂直关系》（含答案详解）

高考数学二轮复习练习：专题限时集训08

《空间中的平行与垂直关系》

一、选择题

1.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)

A.0条       B.1条        C.2条         D.0条或2条

2.已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，

则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)

A.30°        B.45°        C.60°        D.90°

3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.给出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；

②若m∥n，m∥β，则n∥β；

③若m∥α，m∥β，则α∥β；

④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为(　　)

A.1　         B.2          C.3           D.4

4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)

A.O是△AEF的垂心

B.O是△AEF的内心

C.O是△AEF的外心

D.O是△AEF的重心

5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，

则下列结论中错误的是(　　)

A.AC⊥BF

B.三棱锥A­BEF的体积为定值

C.EF∥平面ABCD

D.异面直线AE，BF所成的角为定值

6.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有(　　)

A.1个        B.2个        C.3个          D.4个

7.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，

则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

图(1)　　             　图(2)

A.相交且垂直     B.相交但不垂直    C.异面且垂直    D.异面但不垂直

8.下列命题中正确的个数是(　　)

①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；

②直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.

A.0          B.1        C.2          D.3

二、填空题

9.正四面体ABCD中，E、F分别为AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为_____.

10.已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D­ABC，当三棱锥D­ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________.

11.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，给出下列结论：

①四面体ABCD每组对棱相互垂直；

②四面体ABCD每个面的面积相等；

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；

④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.

其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)

12.在三棱锥P­ABC中，PB=6，AC=3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________.

三、解答题

13.如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC­A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.

(1)求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；

(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高.

14.在平面四边形ABCD(图(1))中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，

设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图(2)所示的三棱锥C′­ABD.

图(1)　 　   　图(2)

(1)当C′D=时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；

(2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′­ABD的高.

0.答案详解

1.答案为：C；

解析：因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，

所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C.]

2.答案为：A；

解析：取AC的中点O，连接OM，ON(图略)，则ON∥AP，ON=AP，OM∥BC，OM=BC，

所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角)，在△ONM中，OM=2，ON=2，MN=4，

由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，则∠ONM=30°.故选A.]

3.答案为：A；

解析：①是常用结论；②还有可能n⊂β；③还有可能α，β相交，此时m与它们的交线平行；④垂直于同一直线的两个平面平行.故选A.]

4.答案为：A；

解析：由题意可知PA，PE，PF两两垂直，∴PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF.

∵PO∩PA=P，∴EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

∴O为△AEF的垂心.故选A.]

5.答案为：D；

解析：对于选项A，连接BD(图略)，易知AC⊥平面BDD1B1.

∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；对于选项B，

∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变.

∵EF=，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，

∴三棱锥A­BEF的体积为定值，故B正确；

对于选项C，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；

对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，

则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，

则两异面直线所成的角是∠OBC1，这两个角不相等，

故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误.]

6.答案为：B；

解析：将展开图还原为几何体(如图)，

因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，

所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错；

因为AF⊂平面PAD，B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；

因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；

平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错.故选B.]

7.答案为：C；

解析：在题图(1)中，AD⊥BC，故在题图(2)中，AD⊥BD，AD⊥DC，

又因为BD∩DC=D，所以AD⊥平面BCD，

又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.]

8.答案为：A；

解析：对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；

对于②，在如图1所示的三棱锥P­ABC中，PB⊥平面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；

对于③，在如图2所示的三棱锥P­ABC中，AB=BC=AC=PA=2，PB=PC=3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P­ABC不是正三棱锥，故③错误；

对于④，α，β也可以平行，故④错误.所以正确命题的个数为0.选A.

9.答案为：；

解析：取BF的中点G，连接CG，EG，(图略)易知EG∥AF，

所以异面直线AF、CE所成的角即为∠GEC(或其补角).

不妨设正四面体棱长为2，易求得CE=，EG=，CG=，

由余弦定理得cos∠GEC===，

∴异面直线AF、CE所成角的余弦值为.]

10.答案为：π；

解析：当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D­ABC的体积取最大值.此时易知BC⊥平面DAC，

∴BC⊥AD.又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA=OB=OC=OD=1，

故O为所求外接球的球心，故半径r=1，体积V=πr3=π.]

11.答案为：②④⑤；

解析：①，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DE=BF，

当且仅当AD=AB，CD=BC时，E，F重合，此时AC⊥BD，

所以当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱相互垂直，故①错误；

②，因为AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以四面体四个面全等，

所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②正确；

③，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°，

此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，故③错误；

④，如图2，G，H，I，J为各边中点，

因为AC=BD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，

所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，故④正确；

⑤，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，

因为AC=BD，所以AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，

所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确.

综上所述，正确的结论为②④⑤.

12.答案为：8；

解析：过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，

分别交AB、BC于点N、M，连接MN(图略)，

则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF=MN=AC=2，FM=EN=PB=2，

所以截面的周长为2×4=8.]

13.解：(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，

所以DE是△ABC的中位线，

所以DE∥AB.

又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，

所以DE∥平面ABB1A1.

同理DG∥平面ABB1A1，

又DE∩DG=D，

所以平面DEFG∥平面ABB1A1.

(2)当直三棱柱ABC­A1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，

由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC­A1B1C1容器的高，即侧棱长l，

当底面ABC水平放置时，

设液面的高为h，△ABC的面积为S，则由已知条件可知，△CDE∽△CAB，

且S△CDE=S，所以S四边形ABED=S.

由于两种状态下液体体积相等，所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=0.75Sl，即h=0.75l.

因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为0.75l.

14.解：(1)证明：当C′D=时，取AB的中点O，连接C′O，DO，

在Rt△ABC′，Rt△ADB中，AB=2，则C′O=DO=1，

∵C′D=，∴C′O2＋DO2=C′D2，即C′O⊥OD，

由∠BAC=45°得△ABC′为等腰直角三角形，∴C′O⊥AB，

又AB∩OD=O，AB，OD⊂平面ABD，

∴C′O⊥平面ABD，

∵C′O⊂平面ABC′，

∴平面C′AB⊥平面DAB.

(2)由已知可求得AD=，AC′=BC′=，BD=1，

当AC′⊥BD时，由已知AC′⊥BC′，得AC′⊥平面BDC′，

∵C′D⊂平面BDC′，

∴AC′⊥C′D，

由勾股定理，得C′D===1，

而△BDC′中，BD=1，BC′=，

∴C′D2＋BD2=BC′2，

∴C′D⊥BD.

∴S△BDC′=×1×1=.

三棱锥C′­ABD的体积V=·S△BDC′·AC′=××=.S△ABD=×1×=，

设三棱锥C′­ABD的高为h，则由××h=，解得h=.